[논문 리뷰] Genus Two Modular Bootstrap

Minjae Cho, Scott Collier외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 유니타리 CFT에 대해 고도가 2인 모듈러 브로드캐스트 프레임워크를 개발한다. 이를 위해 고도가 2인 분할 함수를 3중 대칭적 곱 CFT에서 $\mathbb{Z}_3$-틀어짐 장의 4점 함수로 매핑한다. 고도가 2인 conformal block의 재귀 표현을 사용하고, 대칭점 $z = \bar{z} = 1/2$에서의 교차 방정식을 분석함으로써, 경계가 경계된 전체 연산자 스펙트럼의 구조 상수를 제약하는 임계 표면을 유도한다. 이는 경계-경계-중간, 경계-중간-중간, 중간-중간-중간 채널을 포함한다.

ABSTRACT

We study the Virasoro conformal block decomposition of the genus two partition function of a two-dimensional CFT by expanding around a Z3-invariant Riemann surface that is a three-fold cover of the Riemann sphere branched at four points, and explore constraints from genus two modular invariance and unitarity. In particular, we find 'critical surfaces' that constrain the structure constants of a CFT beyond what is accessible via the crossing equation on the sphere.

연구 동기 및 목표

• 2D CFT에서 고도가 2인 리만 표면에 대한 모듈러 브로드캐스트 프로그램을 개발하여, 구면과 토러스 브로드캐스트를 고도가 더 높은 경우로 확장한다.
• 고도가 2인 conformal block을 계산하는 데 기술적 과제를 해결하기 위해 재귀적 플러밍 프레임 표현을 사용한다.
• 고도가 2인 모듈러 교차 방정식을 분석하여 CFT의 전체 스펙트럼에 대한 구조 상수에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 고도가 2인 교차 방정식이 경계-경계-경계뿐만 아니라 경계-경계-중간 및 중간-중간-중간 구조 상수도 동시에 제약함을 보여주며, 고도 1과 구면 제약 조건을 초월한다.

제안 방법

• 3중 대칭적 곱 CFT에서 $\mathbb{Z}_3$-틀어짐 장의 4점 함수로 고도가 2인 분할 함수를 매핑한다.
• 플러밍 프레임에서 고도가 2인 바라소 conformal block의 재귀 표현을 사용하며, 중심 전하 $c$와 conformal 무게에 대한 명시적 의존성을 포함한다.
• conformal block을 $\mathcal{F}_c = \exp[c\mathcal{F}^{\text{cl}}(z)] \mathcal{G}_c$로 표현하여, 큰 $c$ 기여와 유한한 $c$ 기여를 분리한다.
• 대칭점 $z = \bar{z} = 1/2$에서 고도가 2인 모듈러 교차 방정식을 $z$ 및 $\bar{z}$ 도수의 첫 번째 차수까지 평가하며, 이 점에서 리만 표면은 $\mathbb{Z}_3$-대칭성을 가진다.
• conformal block 분해의 첫 번째 도수를 기반으로 스케일링 차원 공간에 있는 임계 표면을 유도한다.
• $\mathbb{Z}_3$-대칭 Renyi 표면이 알려진 주기 행렬과 모듈러 성질을 가진 1-복소수 매개변수를 가진 고도가 2인 표면의 자연스러운 가중치를 제공한다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적인 conformal block 계산이 비가능한 상황에서 고도가 2인 모듈러 브로드캐스트는 어떻게 구현될 수 있는가?
• RQ2 고도 1과 구면 4점 함수에서의 제약 조건을 초월하여, 고도가 2인 모듈러 교차 방정식으로부터 CFT의 구조 상수에 어떤 제약 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ3 고도가 2인 교차 방정식은 경계-경계-경계뿐만 아니라 경계-경계-중간 및 중간-중간-중간 구조 상수도 동시에 제약할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{Z}_3$-대칭 Renyi 표면은 고도가 2인 모듈러 브로드캐스트를 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 재귀적 conformal block 표현은 대칭점 $z = \bar{z} = 1/2$에서의 모듈러 교차 방정식으로부터 물리적 제약 조건을 어떻게 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 고도가 2인 모듈러 교차 방정식은 $z = \bar{z} = 1/2$에서 $z$ 및 $\bar{z}$ 도수의 첫 번째 차수까지 전개할 때, CFT 전체 스펙트럼의 구조 상수 $C_{ijk}$를 제약하는 임계 표면을 도출한다.
• 임계 표면은 경계-경계-경계 구조 상수뿐만 아니라 경계-경계-중간 및 중간-중간-중간 구조 상수도 제약하며, 이는 이전의 제약 조건을 초월하여 브로드캐스트의 영향 범위를 넓힌다.
• conformal block 분해는 중심 전하 $c$에 의존하는 극점 $c = c_{rs}(h_i)$를 포함하는 재귀 공식으로 표현되며, 계수 $\mathcal{A}^{rs}_i$는 conformal 무게에 대해 명시적으로 알려진 함수이다.
• 고도가 2인 분할 함수는 $\mathbb{Z}_3$-대칭 Renyi 표면에서 $\mathbb{Z}_3$-틀어짐 장의 구면 4점 함수와 동치이며, 이로 인해 알려진 OPE 및 교차 기법을 사용할 수 있다.
• 이 방법은 $\exp[c\mathcal{F}^{\text{cl}}(z)]$를 통해 conformal block의 큰 $c$ 행동을 포착하며, 유한한 $c$ 기여 $\mathcal{G}_c$는 재귀적으로 계산 가능하다.
• 교차 방정식의 고차 도수를 고려하면 더 강력한 제약 조건을 얻을 수 있지만, 스케일링 차원과 스핀의 3차원 공간과 스핀 잘라내기의 영향으로 인해 수치적 구현은 어렵다.