[논문 리뷰] Genus Two Partition and Correlation Functions for Fermionic Vertex Operator Superalgebras II

Michael P. Tuite, Alexander Zuevsky|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 12.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랭크 두 개의 자유 페르미온 버텍스 연산자 슈퍼대수에 대한 ρ-형식에서 종수 두 개의 분할 함수와 n점 상관 함수의 생성 함수를 계산한다. 보존화와 종수 일의 상호연결 상관 함수를 이용하여, 종수 일의 셰고 핵의 무한 및 유한 행렬식을 포함하는 결과를 도출하며, Sp(4,Z)의 부분군에 대해 해석적이고 모듈라 불변성을 증명한다. 또한 종수 두 개의 시타 시리즈에 대한 자코비 삼중곱 항등식의 유사체를 제시한다.

ABSTRACT

We define and compute the continuous orbifold partition function and a generating function for all $n$-point correlation functions for the rank two free fermion vertex operator superalgebra on a genus two Riemann surface formed by self-sewing a torus. The partition function is proportional to an infinite dimensional determinant with entries arising from torus Szego kernel and the generating function is proportional to a finite determinant of genus two Szego kernels. These results follow from an explicit analysis of all torus $n$-point correlation functions for intertwiners of the irreducible modules of the Heisenberg vertex operator algebra. We prove that the partition and $n$-point correlation functions are holomorphic on a suitable domain and describe their modular properties. We also describe an identity for the genus two Riemann theta series analogous to the Jacobi triple product identity.

연구 동기 및 목표

• 랭크 두 개의 자유 페르미온 버텍스 연산자 슈퍼대수에 대한 ρ-형식에서 종수 두 개의 분할 함수와 n점 상관 함수의 생성 함수를 계산한다.
• 분할 함수와 상관 함수가 종합 도메인의 적절한 커버링 공간에서 해석적이고 모듈라 불변임을 확립한다.
• 종수 두 개의 리만 시타 시리즈에 대한 자코비 삼중곱 항등식의 유사체를 유도한다.
• 종수 일의 상호연결 상관 함수 결과를 일반화된 VOA로 확장하고, 종수 두 개의 구성에 대해 토러스를 자가접합함으로써 적용한다.
• 상관 함수가 종합 도메인에서 다가값성을 가지는 방식과 그들이 커버링 공간으로 올라가면 어떻게 해석 함수가 되는지 분석한다.

제안 방법

• 두 개의 점이 거리 w로 떨어져 있는 토러스를 두 번 자가접합하여 종수 두 개의 리만 곡면을 구성하기 위해 ρ-형식을 사용한다. 이때 모듈라 매개수는 τ이며, 종합 매개수는 ρ이다.
• 보존화를 통해 랭크 두 개의 자유 페르미온 VOSA를 Z-격자 VOSA로 식별함으로써, 모든 α ∈ ℂ에 대해 일반화된 VOA M ⊗ e^α의 상호연결자를 다룰 수 있도록 한다.
• 타원형 프라임 형태와 준모듈라 형식을 사용하여 일반화된 VOA M ⊗ e^α의 종수 일 n점 상관 함수를 계산한다.
• 종수 일 n점 함수의 생성 함수를 종수 일 셰고 핵의 유한 행렬식으로 유도한다.
• 종수 일 셰고 핵 데이터와 승수로부터 유도된 무한행렬 T와 det(I - T)에 대한 주요 의존도를 갖는, 종수 두 개의 분할 함수와 상관 함수를 구성한다.
• 종수 일 데이터와 [TZ1]의 승수로부터 유도된 종수 두 개의 셰고 핵 S^(2)에 대한 명시적 표현을 활용하며, 핵 공식에 (I - T)^{-1}이 나타난다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크 두 개의 자유 페르미온 VOSA에 대해 ρ-형식에서 종수 두 개의 분할 함수를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 모든 종수 두 개의 n점 상관 함수의 생성 함수의 구조는 무엇이며, 종수 일 데이터와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 분할 함수와 상관 함수는 종합 도메인 D^ρ에서 어떻게 해석적이고 모듈라적으로 행동하는가?
• RQ4 리만 시타 시리즈에 대한 종수 두 개의 자코비 삼중곱 항등식의 유사체는 무엇인가?
• RQ5 D^ρ에서의 상관 함수의 다가값 성질은 어떤 방식으로 커버링 공간으로 올라가면 해결되는가?

주요 결과

• 종수 두 개의 분할 함수는 T의 행렬식 det(I - T)에 비례하며, 여기서 T는 종수 일 셰고 핵 데이터와 승수로부터 구성된 무한행렬이며, 종합 도메인 D^ρ에서 해석적이다.
• 종수 두 개의 n점 상관 함수의 생성 함수는 종수 이차 셰고 핵의 유한 행렬식에 비례하며, 종수 일 상호연결 상관 함수로부터 유도된다.
• 분할 함수와 상관 함수는 D^ρ에서 다가값이지만, 적절한 커버링 공간으로 올라가면 해석 함수가 된다.
• 함수들은 종수 두 개의 심플렉틱 군 Sp(4,Z)의 부분군에 대해 모듈라 불변성을 보인다.
• 리만 시타 시리즈에 대한 종수 두 개의 항등식이 도출되었으며, 자코비 삼중곱 항등식과 유사하다.
• 일반화된 VOA M ⊗ e^α의 종수 일 n점 상관 함수는 이동된 바라소로 모드와 q-급수 및 타원 함수를 포함하는 추적 공식을 사용하여 명시적으로 계산되었다.