[논문 리뷰] Genus two Veech surfaces arising from general quadratic differentials

Sergey A. Vasilyev|ArXiv.org|2005. 04. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 제곱이 아닐 경우의 일반적인 2차 미분형식에서 유래한 종수 2 Veech 표면을 분류한다. (2,2) 및 (2,1,1) 계열에서는 이러한 표면이 모두 산술적임을 증명하고, (1,1,1,1) 계열에서는 종수 3 초등형 Veech 표면과의 대응관계를 설정하며, 종수 2 Veech 표면의 비분지 이중 쌍대를 통해 이 계열에서 산술적이지 않은 예를 구성한다.

ABSTRACT

We study Veech surfaces of genus 2 arising from quadratic differentials that are not squares of abelian differentials. We prove that all such surfaces of type (2,2) and (2,1,1) are arithmetic. In (1,1,1,1) case, we reduce the question to abelian differentials of type (2,2) on hyperelliptic genus 3 surfaces with singularities at Weierstrass points, and we give an example of a non-arithmetic Veech surface.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 2차 미분형식에서 유래한 제곱이 아닐 경우의 종수 2 Veech 표면을 분류하는 것.
• 특히 (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1) 계열에서 이러한 Veech 표면이 산술적인지 여부를 규명하는 것.
• QM₂(1,1,1,1)에 속하는 종수 2 Veech 표면과 ΩM₃(2,2)에 속하는 초등형 종수 3 Veech 표면 간의 대응관계 수립 (Weierstrass 점에서의 특이점 포함).
• 비분지 이중 쌍대를 통해 종수 2 Veech 표면을 이용해 (1,1,1,1) 계열에서 산술적이지 않은 Veech 표면의 구체적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 종수 2 표면 위의 2차 미분형식을 종수 3 표면 위의 아벨 미분형식으로 올리는 이중 쌍대 구조를 활용하여 기존 아벨 미분형식 결과에 근거한 분석을 가능하게 한다.
• 초등형 대칭을 적용하여 Weierstrass 점을 식별하고, 이중 쌍대의 구조를 분석하며, 특히 영점과 고정점의 위치에 초점을 맞춘다.
• Weierstrass 점들 사이의 경로에 초등형 대칭을 작용시켜 얻은 고리에 따라 표면을 잘라내고 재접합하여 종수 3 표면을 구성한다.
• QM₂(1,1,1,1)의 Veech 표면과 ΩM₃(2,2)에 속하는 Weierstrass 점에서 특이점을 가진 초등형 Veech 표면 간의 대응관계를 활용하여 성질를 이전한다.
• 스위스 크로스 구조와 같은 L형 당구대에서 유도된 방법을 활용해 표면의 직접 기하적 구성 수행.
• 2차 미분형식이 유도하는 평탄한 구조에서 Veech 군의 행동을 분석함으로써 산술성 또는 비산술성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 미분형식이 아벨 미분형식의 제곱이 아닐 경우, QM₂(2,2) 계열의 모든 종수 2 Veech 표면이 산술적일까?
• RQ2 동일한 조건 하에 QM₂(2,1,1) 계열의 모든 종수 2 Veech 표면이 산술적일까?
• RQ3 QM₂(1,1,1,1)에 속하는 종수 2 Veech 표면과 ΩM₃(2,2)에 속하는 Weierstrass 점에서 특이점을 가진 초등형 종수 3 Veech 표면 사이에 일대일 대응관계가 존재하는가?
• RQ4 비산술적 종수 2 Veech 표면 ΩM₂(2)에서 유래한 비산술적 Veech 표면을 QM₂(1,1,1,1) 계열에서 직접 구성할 수 있는가?
• RQ5 종수 2 Veech 표면의 이중 쌍대가 QM₂(1,1,1,1)에 속하는 Veech 표면을 유도하기 위해 충족해야 할 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 2차 미분형식이 아벨 미분형식의 제곱이 아닐 경우에도 QM₂(2,2) 계열의 모든 Veech 표면은 산술적이다.
• 동일한 조건 하에 QM₂(2,1,1) 계열의 모든 Veech 표면은 산술적이다.
• QM₂(1,1,1,1)에 속하는 Veech 표면과 ΩM₃(2,2)에 속하는 Weierstrass 점에서 특이점을 가진 초등형 Veech 표면 사이에 일대일 대응관계가 존재한다.
• 비산술적 종수 2 Veech 표면 ΩM₂(2)의 비분지 이중 쌍대를 통해 QM₂(1,1,1,1) 계열에서 산술적이지 않은 Veech 표면을 구성할 수 있다.
• 각 종수 2 Veech 표면 ΩM₂(2)에 대해, 이중 쌍대의 구성에 사용되는 두 개의 Weierstrass 점 선택에 따라 QM₂(1,1,1,1)에 최대 10개의 서로 다른 Veech 표면이 유도된다.
• 기저 표면이 비산술적일 경우, 유도된 종수 2 표면 QM₂(1,1,1,1)는 비틀린 접합이 있는 H형 표면으로 기하학적으로 실현되며, 이는 비산술적 성질을 확인시킨다.