[논문 리뷰] Geodesic curves on Shimura surfaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 불가약한 산술 랏스에 의해 $ℚ^2 \times ℚ^2$ 또는 $ℜ_{ℝ}^2$ 의 몫으로서 얻어지는 시무라 표면의 지측선 곡선들을 $K_0$-쿼aternion 대수와 연결시켜, 동치류에 대해 분류한다. 핵심 결과는 시무라 표면이 하나의 지측선 곡선을 포함하면, 서로 동치가 아닌 무수히 많은 지측선 곡선을 포함하며, 이는 수체 위의 쿼aternion 대수의 분해 조건을 통해 완전히 매개화된다는 것이다.

ABSTRACT

We parametrize the commensurability classes of curves on Shimura surfaces that are totally geodesic, i.e., the commensurability classes of so-called $\mathbb{C}$-Fuchsian subgroups. In particular, if a Shimura surface contains one commensurability class of totally geodesic curves, it contains infinitely many.

연구 동기 및 목표

• 시무라 표면 위의 모든 지측선 곡선을 동치류에 대해 분류하는 것.
• 시무라 표면의 기본군 내부에 있는 $\mathbb{C}$-푸크스 부분군의 구조를 이해하는 것.
• 이러한 표면 위의 전체적으로 지측적인 프로젝티브 곡선들의 동치류를 완전히 매개화하는 것.
• 한 개의 그러한 곡선이 존재하면, 서로 동치가 아닌 무수히 많은 곡선이 존재함을 증명하는 것.
• 특히 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 와 $\mathrm{SU}(2,1)$ 에 대해 산술 랏스 내의 지측선 부분다양체에 관한 이전 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 단순 복소수 리 군 내의 산술 랏스 이론을 활용하여 지측선 곡선을 기본군의 산술 푸크스 부분군과 연결하는 것.
• 특정 무한대 및 유한한 자리에서 분해되는 수체 위의 쿼aternion 대수를 통해, 불가약한 산술 랏스를 분류하는 것.
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2$ 와 $\Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ 내의 전체적으로 지측적인 부분다양체와 특정 분해 조건을 만족하는 $K_0$-쿼aternion 대수 사이의 대응을 구축하는 것.
• $K^3$ 위의 에르미트 형식과 그 $K^2$-부분공간으로의 제한을 이용하여 $\mathbf{H}^2$ 를 $\mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ 내에 헬름포르트 임베딩으로 표현함으로써 $\mathbb{C}$-푸크스 부분군을 실현하는 것.
• $\mathbb{C}$-푸크스 부분군의 동치류와 모든 무한대 자리 중 하나를 제외한 곳과 유한한 수의 분해되지 않는 소수에서 분해되는 $K_0$-쿼aternion 대수의 $\mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q})$-동형류 사이의 일대일 대응을 확립하는 것.
• 쿼aternion 대수의 산술 이론과 에르미트 기하학의 알려진 결과를 활용하여 분류를 증명하고, 피카르 모듈라 군에 관한 이전 작업과의 등가성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시무라 표면 위의 지측선 곡선들을 동치류에 대해 완전히 분류할 수 있는가?
• RQ2 시무라 표면이 적어도 하나의 지측선 곡선을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 시무라 표면의 기본군 내의 $\mathbb{C}$-푸크스 부분군의 동치류는 어떻게 매개화할 수 있는가?
• RQ4 지측선 곡선의 기하학적 성질과 관련된 쿼aternion 대수의 산술적 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 분류는 이전의 피카르 모듈라 군과 힐베르트 모듈라 표면에 관한 결과들과 어떻게 관련되거나 일반화되는가?

주요 결과

• 시무라 표면이 하나의 지측선 곡선을 포함하면, 서로 동치가 아닌 무수히 많은 지측선 곡선을 포함한다.
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2$ 에서의 지측선 곡선의 동치류는 모든 무한대 자리 중 하나를 제외한 곳과 유한한 수의 분해되지 않는 소수에서 분해되는 $K_0$-쿼aternion 대수의 $\mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q})$-동형류와 일대일 대응된다.
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ 에서는 모든 무한대 자리 중 하나를 제외한 곳과 유한한 수의 분해되지 않는 비아르키메데스 소수에서 분해되는 $K_0$-쿼aternion 대수로 분류된다.
• 관련 쿼aternion 대수가 모든 무한대 자리에서 분해되면 지측선 곡선의 존재가 차단되며, 이는 정리 3.1과 4.1에서 보여진다.
• $\mathrm{SU}(2,1)$-유형 랏스에 대한 분류는 피카르 모듈라 군에 관한 파크코넨과 폴린의 최근 작업을 일반화하며, 쿼aternion 대수의 산술을 통해 등가성이 확립된다.
• 매개화는 효과적이고 산술적으로 명확하며, 힐베르트 기호와 $K_0$-쿼aternion 대수의 분해 조건에 의존한다.