[논문 리뷰] Geodesic Deviation Equation In $f(Q)$-Gravity

Jing-Theng Beh, Tee‐How Loo외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 09.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환적 형식을 사용하여 $f(Q)$-중력에서 지오데식 편차 방정식(GDE)를 유도하며, 일반 상대성 이론의 GDE를 대칭 평행 전도 중력으로 확장한다. 이는 매티그 관계를 일반화하고, 비균일한 $f(Q)$-중력 모델에서 우주론적 거리에 대해 다이어-루더 유사 방정식을 수립한다. 주요 결과로는 $f''(Q)$와 비측도성 기여에 의존하는 수정된 집중 항이 도출된다.

ABSTRACT

In the present paper we study the Geodesic Deviation Equation (GDE) in the modified $f(Q)$-gravity theories. The formulation of GDE in General Relativity in the case of the homogeneous and isotropic Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetime is briefly discussed and then extended in modified $f(Q)$-gravity using its covariant counterpart. The generalised Mattig relation is obtained. Finally, an equivalent expression to the Dyer-Roeder equation in General Relativity in the case of $f(Q)$-gravity is presented.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론의 지오데식 편차 방정식(GDE)을 비가환적 형식을 사용하여 $f(Q)$-중력으로 확장하는 것.
• 프리드만-레마트르-로버트슨-워커(FLRW) 시공간 내에서 $f(Q)$-중력에서의 각 지름 거리에 대한 일반화된 매티그 관계를 도출하는 것.
• 비균일성을 매끄러움 매개변수 $\tilde{\alpha}(z)$를 통해 고려하는 $f(Q)$-중력에서의 다이어-루더 유사 방정식을 수립하는 것.
• 비측도성과 고차 미분항인 $f''(Q)$의 영향이 지오데식 집중과 우주론적 거리 측정에 어떻게 작용하는지 분석하는 것.

제안 방법

• 비측도성 텐서 $Q_{\lambda\mu\nu}$와 변형 텐서 $L^{\lambda}{}_{\mu\nu}$를 사용하여 $f(Q)$-중력의 비가환적 장 방정식을 수립한다.
• 리만 곡률을 비측도성 텐서와 리비에비비타 접속으로 표현하여 $f(Q)$-중력에서의 GDE를 유도한다.
• 우주론적 맥락에서 지오데식 편차를 모델링하기 위해 기본 관측자와 과거를 향한 영벡터 장을 가진 FLRW 계량을 적용한다.
• 비가환적 형식의 $f(Q)$-중력에서의 수정된 프리드만 방정식을 사용하여 GDE를 적외수 $z$에 대한 미분방정식으로 변환한다.
• 비균일성을 모델링하기 위해 질량 분율 매개변수 $\tilde{\alpha}(z)$를 도입하며, 이는 일반 상대성 이론의 다이어-루더 접근과 유사하다.
• 에너지 밀도를 $\tilde{\alpha}\rho$로 대체하고 집중 항에 $f''(Q)$-의존 보정을 포함시켜 $f(Q)$-중력에서의 다이어-루더 유사 방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에 비해 $f(Q)$-중력에서 지오데식 편차 방정식은 어떻게 일반화되는가?
• RQ2 $f(Q)$-중력에서 각 지름 거리에 대한 일반화된 매티그 관계의 형태는 무엇인가?
• RQ3 비균일성과 비측도성을 고려할 때 다이어-루더 방정식은 $f(Q)$-중력에서 어떻게 적응되는가?
• RQ4 특히 $f''(Q)$로 표현되는 $f(Q)$ 함수의 이阶 도함수는 지오데식 집중과 거리 측정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $f(Q)$-중력 GDE는 어떤 조건에서 표준 일반 상대성 이론 결과로 축소되는가?

주요 결과

• 비측도성 텐서와 변형 형식을 사용하여 $f(Q)$-중력에서 지오데식 편차 방정식을 비가환적 형태로 유도하였으며, 일반 상대성 이론의 프레임워크를 대칭 평행 전도 중력으로 확장하였다.
• 일반화된 매티그 관계는 적외수 $z$에 대한 두 번째 차수 미분방정식으로 표현되며, 계수는 $\Omega_{m0}$, $\Omega_{\Lambda}$ 및 $f''(Q)$-의존 항에 따라 달라진다.
• 비균일한 $f(Q)$-중력에서의 다이어-루더 유사 방정식은 비측도성과 수정된 중력 효과를 반영한 수정된 집중 항을 포함한다. 이 항은 $3\tilde{\alpha}(z)\Omega_{m0}(1+z)^3 - \frac{24\dot{H}f''}{f'}[\Omega_{m0}(1+z)^3 + \Omega_{DE}]$ 비례한다.
• 제한 조건 $f(Q) = Q - 2\Lambda$에서 유도된 방정식은 일반 상대성 이론의 표준 다이어-루더 및 매티그 관계로 축소된다.
• 각 지름 거리 $D_A(z)$는 초기 조건 $D_A(z_0) = 0$ 및 $dD_A/dz|_{z_0} = H_0 / [H(z_0)(1+z_0)]$를 만족하는 두 번째 차수 상미분방정식을 만족하며, 이는 $f(Q)$-중력의 수정된 프리드만 방정식과 일치한다.
• $f''(Q)$ 항의 존재는 지오데식 집중 행동에 보정을 도입하며, 이는 비균일한 $f(Q)$-중력 모델에서 우주론적 거리 측정의 진화를 변화시킨다.