[논문 리뷰] Geodesic rays and stability in the cscK problem

Chi Li|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 06.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 73인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 유한 에너지 지그로드릭 레이와 유한한 Mabuchi 기울기를 가진 경우, Berman-Boucksom-Jonsson의 의미에서 최대성이 성립함을 증명하며, 균일한 Yau-Tian-Donaldson 추측을 비유클리드 기하학적 엔트로피의 대수적 근사에 관한 Boucksom-Jonsson의 추측으로 감소시킨다. 또한, 균일한 K-안정성과 $\mathcal{J}^{K_X}$-안정성이 cscK 메트릭의 존재를 위한 충분조건임을 보이며, 토릭 다양체 및 Mabuchi 기울기의 새로운 항등식에 응용한다.

ABSTRACT

We prove that any finite energy geodesic ray with a finite Mabuchi slope is maximal in the sense of Berman-Boucksom-Jonsson, and reduce the proof of the uniform Yau-Tian-Donaldson conjecture for constant scalar curvature Kähler metrics to Boucksom-Jonsson's regularization conjecture about the convergence of non-Archimedean entropy functional. As further applications, we show that a uniform K-stability condition for model filtrations and the $\mathcal{J}^{K_X}$-stability are both sufficient conditions for the existence of cscK metrics. The first condition is also conjectured to be necessary. Our arguments also produce a different proof of the toric uniform version of YTD conjecture for all polarized toric manifolds. Another result proved here is that the Mabuchi slope of a geodesic ray associated to a test configuration is equal to the non-Archimedean Mabuchi invariant.

연구 동기 및 목표

• 불안정화 지그로드릭 레이와 최대성 간의 연결 고리를 설정함으로써 대수적 근사 가능성에 기여한다.
• 균일한 Yau-Tian-Donaldson 추측을 비유클리드 기하학적 엔트로피의 대수적 근사에 관한 추측으로 감소시킨다.
• 균일한 $\mathcal{J}^{K_X}$-안정성과 모델 필터레이션에 대한 균일한 안정성이 cscK 메트릭 존재를 위한 충분조건임을 증명한다.
• 테스트 구성과 관련된 지그로드릭 레이에 대한 Mabuchi 기울기 항등식을 검증한다.
• 모든 균일한 토릭 다양체에 대해 토릭 균일 YTD 추측에 대한 새로운 증명을 제공한다.

제안 방법

• Mabuchi 에너지의 $C^{1,\bar{1}}$-지그로드릭을 따라의 볼록성을 이용하여 Mabuchi 기울기 극한의 존재를 확보한다.
• Berman-Boucksom-Jonsson의 최대 지그로드릭 레이와 유한 에너지 비유클리드 기하학적 메트릭 간의 대응을 적용한다.
• 비유클리드 기하학적 메트릭 $\phi_m \to \Phi_{\rm NA}$ 의 강한 수렴을 이용하여 왜곡된 Monge-Ampère 에너지 기울기의 극한을 분석한다.
• 수렴성의 증명을 위해 [8], [3], [5] 의 추정치에 의존한다. 이는 최대 지그로드릭 레이에 대해 왜곡된 Monge-Ampère 에너지 기울기의 수렴을 보장한다.
• Chen-Tian의 Mabuchi 에너지를 엔트로피와 에너지 부분으로 분해하여 엔트로피 기울기 문제를 분리한다.
• 기존의 $\mathcal{J}^{K_X}$-에너지의 적절성과 $J$-방정식의 해의 존재성에 관한 결과를 활용하여 존재 정리를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 에너지 지그로드릭 레이 중 유한한 Mabuchi 기울기를 가진 것은 Berman-Boucksom-Jonsson의 의미에서 항상 최대인가?
• RQ2 최대 지그로드릭 레이의 Mabuchi 기울기는 테스트 구성에 의해 대수적으로 근사될 수 있는가?
• RQ3 균일한 $\mathcal{J}^{K_X}$-안정성이 cscK 메트릭의 존재를 의미하는가?
• RQ4 테스트 구성과 관련된 지그로드릭 레이의 Mabuchi 기울기는 비유클리드 기하학적 Mabuchi 불변량과 같은가?
• RQ5 비유클리드 기하학적 메트릭의 강한 수렴 하에서 최대 지그로드릭 레이에 대해 왜곡된 Monge-Ampère 에너지 기울기의 수렴이 성립하는가?

주요 결과

• 유한 에너지 지그로드릭 레이 중 유한한 Mabuchi 기울기를 가진 것은 최대이며, $\mathbf{E}^{\prime\infty}(\Phi) = \mathbf{E}^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$ 를 만족한다.
• 테스트 구성과 관련된 지그로드릭 레이의 Mabuchi 기울기는 비유클리드 기하학적 Mabuchi 불변량과 같다.
• 최대 지그로드릭 레이에 대해 $({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = \lim_{m\to\infty}({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi_m)$ 이 성립한다.
• 균일한 $\mathcal{J}^{K_X}$-안정성은 cscK 메트릭의 존재를 의미한다.
• 모델 필터레이션에 대한 균일한 안정성 역시 cscK 메트릭 존재를 위한 충분조건이다.
• 모든 최대 지그로드릭 레이에 대해 항등식 $({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = ({\bf E}^{Q_{\mathbb{C}}})^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$ 가 성립한다.