[논문 리뷰] Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method

Edward D. Kim|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 11.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 231인용 수 7

한 줄 요약

이 학위논문은 운반 다면체의 기하 조합론과 히어스 추측의 연관성을 조사하며, 1-경계를 가진 3방향 축 운반 다면체의 지름에 대해 새로운 이차 상한을 증명하고, $p \times 2$ 고전적 운반 다면체에서 히어스 추측이 성립함을 보이며, 무수히 많은 히어스-정확한 예가 존재함을 확인한다. 또한 $n \geq 4$ 인 Birkhoff 다면체 $B_n$에서 비정규 삼등분의 존재를 입증하고, 특정 네트워크 유량 다면체의 선형 지름 상한을 유도한다.

ABSTRACT

This dissertation investigates the geometric combinatorics of convex polytopes and connections to the behavior of the simplex method for linear programming. We focus our attention on transportation polytopes, which are sets of all tables of non-negative real numbers satisfying certain summation conditions. Transportation problems are, in many ways, the simplest kind of linear programs and thus have a rich combinatorial structure. First, we give new results on the diameters of certain classes of transportation polytopes and their relation to the Hirsch Conjecture, which asserts that the diameter of every $d$-dimensional convex polytope with $n$ facets is bounded above by $n-d$. In particular, we prove a new quadratic upper bound on the diameter of $3$-way axial transportation polytopes defined by $1$-marginals. We also show that the Hirsch Conjecture holds for $p imes 2$ classical transportation polytopes, but that there are infinitely-many Hirsch-sharp classical transportation polytopes. Second, we present new results on subpolytopes of transportation polytopes. We investigate, for example, a non-regular triangulation of a subpolytope of the fourth Birkhoff polytope $B_4$. This implies the existence of non-regular triangulations of all Birkhoff polytopes $B_n$ for $n \geq 4$. We also study certain classes of network flow polytopes and prove new linear upper bounds for their diameters.

연구 동기 및 목표

• 운반 다면체의 기하 조합론과 선형 프로그래밍에서의 역할을 조사한다.
• 운반 다면체의 맥락에서 히어스 추측의 타당성과 경계를 분석한다.
• Birkhoff 다면체의 부분다면체에서 비정규 삼등분의 존재성과 성질을 탐구한다.
• 특정 유형의 운반 다면체 및 네트워크 유량 다면체의 새로운 지름 상한을 설정한다.
• 다면체적 구조 분석을 통해 심플렉스 방법의 행동에 대한 이해를 기여한다.

제안 방법

• 기하 조합론을 활용하여 고전적 및 축 운반 다면체의 정점-면 구조를 분석한다.
• 정규 및 비정규 삼등분을 적용하여 네 번째 Birkhoff 다면체 $B_4$의 부분다면체를 연구한다.
• 이중 그래프와 폴라 다면체 구성 기법을 활용하여 프리즘아이드 구성 방식을 통해 히어스 추측을 분석한다.
• 프리즘아이드의 $d$-단계 성질을 활용하여, 산토스의 5차원 프리즘아이드를 기반으로 히어스 추측의 반례를 구성한다.
• 재귀적 다면체 구성 기법(정리 C.0.4)을 적용하여 5차원 비-$d$-단계 프리즘아이드를 43차원 비-히어스 다면체로 확장한다.
• transportgen과 같은 계산 도구를 활용하여 운반 다면체와 그 조합적 성질을 생성하고 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히어스 추측은 $p \times 2$ 고전적 운반 다면체에서 성립하는가?
• RQ2 1-경계로 정의된 3방향 축 운반 다면체의 지름은 얼마인가?
• RQ3 히어스-정확한 고전적 운반 다면체는 무수히 많게 존재하는가?
• RQ4 Birkhoff 다면체 $B_n$에서 $n \geq 4$ 인 경우 비정규 삼등분이 존재하는가?
• RQ5 네트워크 유량 다면체의 지름에 대해 선형 상한을 설정할 수 있는가?

주요 결과

• $p \times 2$ 고전적 운반 다면체에서는 히어스 추측이 성립하지만, 무수히 많은 히어스-정확한 예가 존재한다.
• 1-경계를 가진 3방향 축 운반 다면체의 지름에 대해 새로운 이차 상한이 확립되었다.
• 네 번째 Birkhoff 다면체 $B_4$에서 비정규 삼등분이 존재하며, 이는 $n \geq 4$ 인 모든 $B_n$에 대해서도 해당 삼등분이 존재함을 시사한다.
• 일부 네트워크 유량 다면체의 지름은 면의 수에 대해 선형 함수로 상한이 존재한다.
• 5차원 프리즘아이드가 $d$-단계 성질을 만족하지 않아, 86개의 면을 가진 43차원 다면체를 구성함으로써 히어스 추측이 반증되었다. 이 다면체의 지름은 43를 초월한다.
• 산토스의 구성과 정리 C.0.4의 재귀적 적용을 바탕으로, 결과로 얻어진 비-히어스 다면체는 약 $10^9$에서 $10^{12}$개의 정점을 가질 것으로 예상된다.