[논문 리뷰] Geometric Complexity Theory VI: the flip via saturated and positive integer programming in representation theory and algebraic geometry

Ketan Mulmuley|ArXiv.org|2007. 04. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 표현 이론과代수기하학에서의 구조 상수에 대한 포지티비티 및 포화 가설을 통해 기하학적 복잡도 이론 접근법을 제안하여 P 대 비NP 문제를 다룬다. 이는 하향 복잡도 문제를 포지티브 정수 계획 문제로 환원함으로써 이루어지며, 카즈단-루스트리그 이론과 캐논리컬 기저 이론에 영감을 받은 가설들에 기반한다. 만약 이러한 포지티비티 및 포화 추측이 참이라면, 펠라스티즘과 리틀우드-리치아드슨 계수의 비영성 문제를 다항시간 내에 결정할 수 있으며, 이는 특성 0에서의 P≠NP를 유한체 위의 리만 가설과 연결한다.

ABSTRACT

This article belongs to a series on geometric complexity theory (GCT), an approach to the P vs. NP and related problems through algebraic geometry and representation theory. The basic principle behind this approach is called the flip. In essence, it reduces the negative hypothesis in complexity theory (the lower bound problems), such as the P vs. NP problem in characteristic zero, to the positive hypothesis in complexity theory (the upper bound problems): specifically, to showing that the problems of deciding nonvanishing of the fundamental structural constants in representation theory and algebraic geometry, such as the well known plethysm constants--or rather certain relaxed forms of these decision probelms--belong to the complexity class P. In this article, we suggest a plan for implementing the flip, i.e., for showing that these relaxed decision problems belong to P. This is based on the reduction of the preceding complexity-theoretic positive hypotheses to mathematical positivity hypotheses: specifically, to showing that there exist positive formulae--i.e. formulae with nonnegative coefficients--for the structural constants under consideration and certain functions associated with them. These turn out be intimately related to the similar positivity properties of the Kazhdan-Lusztig polynomials and the multiplicative structural constants of the canonical (global crystal) bases in the theory of Drinfeld-Jimbo quantum groups. The known proofs of these positivity properties depend on the Riemann hypothesis over finite fields and the related results. Thus the reduction here, in conjunction with the flip, in essence, says that the validity of the P vs. NP conjecture in characteristic zero is intimately linked to the Riemann hypothesis over finite fields and related problems.

연구 동기 및 목표

• 하향 복잡도 문제를 '플립' 원리에 의해 상향 복잡도 문제로 환원함으로써 특성 0에서 P≠NP를 증명하기 위한 프레임워크를 수립하기 위해.
• 표현 이론에서의 펠라스티즘 및 기타 구조 상수에 대한 포화 및 포지티비티 가설을 수립하고 뒷받침하기 위해.
• 이러한 상수의 비영성 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는 포화 및 포지티브 정수 계획 문제로 환원할 수 있음을 보여주기 위해.
• P≠NP의 타당성과 깊이 있는 수론적 추측, 특히 유한체 위의 리만 가설 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 필요한 포지티비티 추측을 증명하기 위한 비표준 양자군과 캐논리컬 기저를 기반으로 한 프로그램을 제안하기 위해.

제안 방법

• 포화 및 포지티브 정수 계획 문제의 일반적 프레임워크를 도입하여 다항시간 알고리즘이 존재함을 보여주기 위해.
• 구조 상수(예: 펠라스티즘)의 스트레칭 함수가 준다항식임을 증명하여 리틀우드-리치아드슨 계수에 대한 기존 결과를 일반화하기 위해.
• 펠라스티즘 및 부분군 제약 문제에 대한 포지티비티 및 포화 가설을 수립하여 리틀우드-리치아드슨 계수의 알려진 성질을 확장하기 위해.
• 카즈단-루스트리그 다항식과 드린펠트-지모 양자군의 캐논리컬 기저에서 알려진 포지티비티 결과를 활용하여 추측의 타당성을 뒷받침하기 위해.
• 캐논리컬 기저의 성질과 유사한 추측적 포지티비티 성질을 지닌 비표준 양자군과 관련 대수를 구성하기 위해.
• 다항수의 제약 조건이 존재하더라도 효율적인 알고리즘을 가능하게 하는 분리 오ракูล 및 코너의 구조 정리(예: 리틀우드-리치아드슨 코너)를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포지티비티 및 포화 가정 하에 펠라스티즘 상수의 비영성 문제는 다항시간 내에 결정될 수 있는가?
• RQ2 펠라스티즘 상수의 스트레칭 함수는 준다항식인가? 이는 기존 리틀우드-리치아드슨 계수의 다항성 일반화인가?
• RQ3 특성 0에서 P≠NP의 타당성은 표현 이론의 포지티비티 추측의 진리성에 환원될 수 있는가?
• RQ4 캐논리컬 기저와 카즈단-루스트리그 다항식의 포지티비티 성질이 복잡도론적 결정 가능성에 필요한 구조적 성질을 얼마나 잘 암시하는가?
• RQ5 비표준 양자군과 그 캐논리컬 기저는 필요한 포지티비티 가설을 증명하기 위한 구조적 길을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 펠라스티즘 상수의 스트레칭 함수는 준다항식이며, 이는 이 경우에 대해 키릴로프의 추측을 증명한다.
• 구조 상수의 비영성 문제는 포화 및 포지티브 정수 계획 문제로 환원되며, 제안된 가정 하에 다항시간 내에 해결 가능하다.
• 특성 0에서 P≠NP 추측의 타당성은 구조 상수의 포지티비티를 통해 리만 가설(유한체 위)과 깊이 연결되어 있다.
• 펠라스티즘 및 부분군 제약 문제를 다스리는 포화 및 포지티비티 가설에 대해 이론적이고 실험적인 지원 자료를 제공한다.
• 추측적 포지티비티 성질을 지닌 비표준 양자군과 대수의 새로운 프레임워크를 제안하며, 이는 필요한 수학적 추측을 증명하기 위한 길이 될 수 있다.
• 동일한 포지티비티 및 포화 가정 하에 리틀우드-리치아드슨 비영성의 알려진 다항시간 해결 가능성은 더 넓은 범주로 일반화된다.