[논문 리뷰] Geometric constant term functor(s)

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 곡선 위의 G-_bundle의 모듈라이 스택에서 기하학적 자동형 양식에 대해 반대 파라보릭 부분군을 사용하여 !-상수항 함자와 *-상수항 함자 사이의 표준적 동형을 수립한다. 유도된 D-모듈의 범주에서 왼쪽 수반 함자를 정의하는 데 있어 기초적인 문제를 해결하기 위해, !-함자가 잘 정의되어 있고, 반대 파라보릭에 대한 상수항 함자들이 표준적으로 동형임을 증명함으로써 기하학적 롱랜즈 이론에서 아이젠슈타인과 상수항 구성의 통합을 이룬다.

ABSTRACT

We study the Eisenstein series and constant term functors in the framework of geometric theory of automorphic functions. Our main result says that for a parabolic P in G with Levi quotient M, the !-constant term functor CT_!:D-mod(Bun_G)-> D-mod(Bun_M) is canonically isomorphic to the *-constant term functor CT^-_*:D-mod(Bun_G) o D-mod(Bun_M), taken with respect to the opposite parabolic P^-.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 롱랜즈 프로그램에서 왼쪽 수반 함자(예: Eis_! 및 CT_!)를 정의하는 데 있어 기초적인 문제를 해결하기 위해.
• 파라보릭 부분군에 대해 D-mod(Bun_G)에서의 !-상수항 함자 CT_!의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 파라보릭 P에 대한 !-상수항 함자와 그 반대 파라보릭 P⁻에 대한 *-상수항 함자 사이의 표준적 동형을 증명하기 위해.
• 쌍대성과 파라보릭 부분군의 쌍대성을 통해 기하학적 설정에서 아이젠슈타인과 상수항 함자를 통합하기 위해.
• D-모듈의 번들 모듈라이 스택을 이용한 상수항과 아이젠슈타인 급수 함자의 기하학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• Bun_P^μ → Bun_M^μ ← Bun_G의 기본 다이어그램을 사용하여, 당김-보내기 작용을 통해 함자를 정의하기 위해.
• 매끄럽고 유한형이면서 콪트랙트인 사상에 대해 !-당김과 !-보내기를 적용하여 Eis_! 및 CT_! 함자를 정의하기 위해.
• q: Bun_P^μ → Bun_M^μ 가 매끄럽고 안전하므로 q_! 및 q^* 가 잘 행동함을 이용하기 위해.
• 기저 변경과 닫힘 성질을 적용하여 반대 파라보릭을 통한 P의 !-함수와 P⁻의 *-함수를 연결하기 위해.
• 공차자에 대한 안정자로서의 코차수의 임베딩을 통해 A¹ 위에 군 스킴 G~를 구성하여 기하학적 상수항 함자를 실현하기 위해.
• 몫 (A¹ × G × G)/G~ 가 유한형의 준아핀 스킴임을 증명하여 상수항 함자의 존재를 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 설정에서 !-상수항 함자 CT_! : D-mod(Bun_G) → D-mod(Bun_M^μ)는 잘 정의될 수 있는가?
• RQ2 파라보릭 P에 대한 !-상수항 함자와 그 반대 파라보릭 P⁻에 대한 *-상수항 함자 사이에 표준적 동형이 존재하는가?
• RQ3 CT_*의 왼쪽 수반 함자 Eis_!는 존재하며, p_! ∘ q^*를 통해 정의된 표준 아이젠슈타인 함자와 동형인가?
• RQ4 유도된 D-모듈의 범주에서 Bun_G에서 상수항과 아이젠슈타인 함자를 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ5 D-모듈의 모듈라이 스택의 맥락에서 상수항 함자의 기하학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• !-상수항 함자 CT_! = q_! ∘ p^* 는 q^* 의 본질적 상에 대해 잘 정의되어 있으며, 비홀로노믹 D-모듈에서의 기초 문제를 해결한다.
• 함수 Eis_! = p_! ∘ q^* 는 q 가 매끄럽고 p 가 유한형이며 표현 가능하므로 잘 정의되어 있다.
• P에 대한 !-상수항 함자는 반대 파라보릭 P⁻에 대한 *-상수항 함자와 표준적으로 동형이며, 이는 두 함수 사이의 쌍대성을 확립한다.
• 몫 (A¹ × G × G)/G~ 는 존재하며 준아phin 스킴의 유한형이므로 상수항 구성의 기하학적 모델을 제공한다.
• 군 스킴 G~ ⊂ A¹ × G × G 는 기저 변경을 통해 증강된 세미군 G_enh 내의 코차수의 안정자와 동형이며, 이를 통해 실현된다.
• CT_! 와 CT_*^opposite 사이의 동형은 비놀브의 세미군과 증강된 군 스킴 G_enh를 포함하는 기하학적 구성에 의해 확립된다.