[논문 리뷰] Geometric construction of the r-map: from affine special real to special Kähler manifolds

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés|ArXiv.org|2008. 11. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 애매한 특수 실다양체에서 특수 켈러 다양체로 가는 r-맵의 내재 기하학적 구성법을 제시한다. 이는 접선다양체 구조를 통해 이루어지며, 임의의 애매한 특수 실다양체의 접선다양체가 자연스럽게 특수 켈러 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 이는 헤시안 기하학과 접속을 통해 r-맵의 기하학적 실현을 제공하며, 정의역이 유한하고 단순연결된 특수 실다양체가 존재하지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

We give an intrinsic definition of (affine very) special real manifolds and realise any such manifold $M$ as a domain in affine space equipped with a metric which is the Hessian of a cubic polynomial. We prove that the tangent bundle $N=TM$ carries a canonical structure of (affine) special Kähler manifold. This gives an intrinsic description of the $r$-map as the map $M\mapsto N=TM$. On the physics side, this map corresponds to the dimensional reduction of rigid vector multiplets from 5 to 4 space-time dimensions. We generalise this construction to the case when $M$ is any Hessian manifold.

연구 동기 및 목표

• 애매한 특수 실다양체를 평탄하고 토크션 없는 접속 ∇와 ∇-평행이며 완전 대칭인 텐서 S = ∇g를 사용하여 내재적으로 정의하는 것.
• 모든 단순연결된 애매한 특수 실다양체가 유클리드 공간 R^n 속에 애매한 임bedding을 가지며, 이때 계량 g가 삼차다항식 h의 헤시안으로 표현됨을 보이는 것.
• 모든 애매한 특수 실다양체 (M,g,∇)의 접선다양체 TM에 대해 자연스러운 특수 켈러 구조 (J, g^N, ∇^N)를 구성함으로써 r-맵을 기하학적으로 실현하는 것.
• 헤시안 다양체로 r-맵 구성법을 일반화하고, 결과로 얻어진 구조가 평탄하고 특수 켈러가 되는 조건을 규명하는 것.
• 완비성과 애매한 초구 이론을 이용하여, 정의역이 유한하고 단순연결된 특수 실다양체가 양의 정부호 계량을 가질 수 없음을 증명하는 것.

제안 방법

• 애매한 특수 실다양체를 평탄하고 토크션 없는 접속 ∇를 가진 의사-리만 다양체 (M,g)로 정의하며, S = ∇g가 완전 대칭이고 ∇-평행임을 요구한다.
• 모든 단순연결된 애매한 특수 실다양체가 g가 삼차다항식 h의 헤시안의 역상이 되는 애매한 임bedding ψ: M → R^n를 가짐을 보이며, (V,h)는 애매한 변환에 대해 유일함을 보인다.
• 다양체 M의 기하학적 자료 (g, ∇)를 사용하여 접선다양체 N = TM에 자연스러운 특수 켈러 구조 (J, g^N, ∇^N)를 구성한다.
• ∇^N 이 평탄하고 특수함(즉, ∇^N J 가 대칭임)임이 (M,g,∇)가 특수 실임과 동치임을 증명하며, 결과로 얻어진 구조가 헤시안임이 (M,g,∇)가 특수 실임과 동치임을 보인다.
• 특수 켈러 다양체 N = TM 위에 자유로운 헬름르티안이고 등거리인 R^n 작용이 존재하며, 이 작용의 궤도가 라그랑주임을 이용하여 M을 몫공간 N/R^n로 재구성한다.
• 칼라비-포고렐로프 정리를 적용하여 N의 계량 g^N 가 완비이며 이차 헤시안 포텐셜을 가짐을 보이며, 이는 ∇^N 이 리만-레비치비타 접속과 일치함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애매한 특수 실다양체에서 특수 켈러 다양체로 가는 r-맵을 전위 함수에 의존하지 않고 내재적으로 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 애매한 특수 실다양체 (M,g,∇)의 접선다양체 TM 위에 어떤 기하학적 구조가 r-맵을 자연스러운 구성으로 실현하는가?
• RQ3 헤시안 다양체로 r-맵 구성법을 일반화했을 때, 평탄성과 특수 켈러 성질을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 기하학적 및 곡률적 추론을 통해, 정의역이 유한하고 단순연결된 특수 실다양체가 양의 정부호 계량을 가질 수 없음을 증명할 수 있는가?
• RQ5 특수 켈러 다양체의 기하학적 및 위상수학적 성질을 기반으로 r-맵의 상은 어떻게 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 모든 단순연결된 애매한 특수 실다양체 (M,g,∇)는 g가 삼차다항식 h의 헤시안이 되는 R^n 속에 애매한 임bedding을 가지며, (V,h)는 애매한 변환에 대해 유일하다.
• 모든 애매한 특수 실다양체의 접선다양체 N = TM 는 자연스러운 특수 켈러 구조 (J, g^N, ∇^N)를 지닌다. 이는 r-맵의 기하학적 실현을 제공한다.
• N의 접속 ∇^N 이 평탄함이 되는 것은 (M,g,∇)가 특수 실일 때에 한하여 성립한다; 그렇지 않으면 ∇^N 은 평탄하지 않다.
• 결과로 얻어진 다양체 (N,J,g^N,∇^N) 가 헤시안임이 (M,g,∇) 가 특수 실일 때에 한하여 성립한다.
• g^N 의 리만-레비치비타 접속이 ∇^N 과 일치함이 (M,g,∇) 가 특수 실일 때에 한하여 성립하며, 이 경우 ∇^N 은 평탄하고 토크션 없는 접속이다.
• 정의역이 유한하고 단순연결된 특수 실다양체 중에서 양의 정부호 계량을 가진 것은 존재하지 않으며, 이는 TM 위에 유도된 계량이 완비이며 칼라비-포고렐로프 정리를 통해 모순을 낳기 때문이다.