[논문 리뷰] Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings

Ivan Mirković, Kari Vilonen|arXiv (Cornell University)|2004. 01. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 복소수 재구성 군 $G$의 아핀 그라스만이에서의 구조적 펄스러운 층에 기반하여 임의의 가환환 위에서 이중 재구성 군 $\check{G}$를 기하학적으로 구성하는 기하학적 사타케 이sov모르피즘을 수립한다. 탄카니안 체계와 반무한 슈베르트 셀을 이용하여, $\Bbbk$-계수를 갖는 $G_{\mathcal{O}}$-동차 펄스러운 층의 텐서 범주와 $\check{G}_{\Bbbk}$의 유한차원 표현의 텐서 범주 사이의 동치를 증명함으로써, $\mathbb{Z}$ 위에서 체발리 군 스킴을 체계적이고 정수계수로 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we give a geometric version of the Satake isomorphism. Given a connected complex reductive algebraic group, we show that the category of representations of its Langlands dual is naturally equivalent to a certain category of perverse sheaves on the complex affine Grassmannian. We can work with perverse sheaves with coefficients in an arbitrary commutative ring and then we recover the representation theory of the split form of the dual group over the commutative ring.

연구 동기 및 목표

• 임의의 가환환 위에서 재구성 군 $G$로부터 시작하여 이중 재구성 군 $\check{G}$의 기하학적이고 체계적인 구성법을 제공하는 것.
• 아핀 그라스만이에서의 구조적 펄스러운 층의 범주가 $\check{G}$의 유한차원 표현의 범주와 동치임을 보여주는 기하학적 사타케 이sov모르피즘을 수립하는 것.
• 표준 층의 코homology에서 정수계수를 사용하여, $\mathbb{Z}$ 위에서 체발리 군 스킴 $\check{G}_{\mathbb{Z}}$를 명시적으로 구성하는 것.
• 특성 0을 초월하여, 기하학적 방법을 통해 모든 체와 가환환 위에서의 표현 이론으로의 사타케 이sov모르피즘의 일반화를 이루는 것.
• 반무한 슈베르트 셀을 이용한 펄스러운 셀 분해를 통해 아핀 그라스만이의 기초를 제공함으로써, $\mathbb{Z}$ 위에서도 코homology에 대한 기초를 확보하는 것.

제안 방법

• 구멍이 난 디스크 위의 $G$-_bundle를 매개변수화하는 인드-스킴으로서 아핀 그라스만이 $\mathcal{G}\text{r} = G(\mathbb{C}((z)))/G(\mathbb{C}[[z]])$를 구성한다.
• 아핀 그라스만이 $\mathcal{G}\text{r}$ 위에서 $\Bbbk$-계수를 갖는 $G_{\mathcal{O}}$-동차 펄스러운 층의 범주 $\operatorname{P}_{G_{\mathcal{O}}}(\mathcal{G}\text{r}, \Bbbk)$를 정의한다.
• 이 범주에 컨볼루션 곱을 부여하고, 탄카니안 체계를 적용하여, 섬유 함수의 자동형사상군으로서 군 스킴 $\check{G}_{\Bbbk}$를 재구성한다.
• 반무한 슈베르트 셀을 이용하여 아핀 그라스만이의 펄스러운 셀 분해를 정의함으로써, $\mathbb{Z}$ 위에서 표준 층의 코homology에 대한 기초를 제공한다.
• 극한에서 몫의 선택에 관계없이 동일한 루트 자료를 갖는다는 것을 보여, 결과적으로 $\check{G}_{\Bbbk}$가 체발리 군 스킴임을 증명한다.
• 드린펠트의 융합 곱 해석을 통해, $\operatorname{P}_{G_{\mathcal{O}}}(\mathcal{G}\text{r}, \Bbbk) \simeq \operatorname{Rep}_{\check{G}_{\Bbbk}}$의 동치가 텐서 구조와 교환 법칙 제약 조건과 호환됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트 자료 이중성에 의존하지 않고, 군 $G$로부터 기하학적으로 이중 군 $\check{G}$를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 방법을 사용하여 체발리 군 스킴 $\check{G}_{\mathbb{Z}}$의 체계적이고 정수계수의 구성법이 존재하는가?
• RQ3 사타케 이sov모르피즘은 특성 0을 초월하여, 정수계수나 양의 특성 체를 포함한 임의의 가환환으로까지 일반화될 수 있는가?
• RQ4 반무한 슈베르트 셀은 아핀 그라스만이의 정수계수를 갖는 펄스러운 셀 분해를 제공하는가?
• RQ5 모든 노에터, 가환, 단위 원소를 갖는 링 $\Bbbk$에 대해, $G_{\mathcal{O}}$-동차 펄스러운 층과 $\check{G}_{\Bbbk}$-표현 사이의 기하학적 사타케 동치가 텐서 동치로 성립하는가?

주요 결과

• 아핀 그라스만이에서의 $G_{\mathcal{O}}$-동차 펄스러운 층의 범주와 $\check{G}_{\Bbbk}$-표현의 유한차원 범주 사이에 텐서 범주로서의 동치가 존재한다.
• $\check{G}_{\Bbbk}$의 구성은 체계적이며 선택에 의존하지 않으며, $\check{G}_{\mathbb{Z}}$는 $\mathbb{Z}$ 위에서의 체발리 군 스킴으로 식별된다.
• 아핀 그라스만이의 표준 층의 코homology는 반무한 슈베르트 셀을 통해 $\mathbb{Z}$ 위에서 기초를 갖는다. 이는 $\mathbb{C}$ 위에서도 새로운 결과이다.
• 이 동치는 $\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}$, $\overline{\mathbb{F}}_q$를 포함한 모든 노에터, 가환, 단위 원소를 갖는 링 $\Bbbk$에 대해 성립한다.
• 유한형 몫들의 극한으로 구성된 군 스킴 $\widetilde{G}_{\mathbb{Z}}$는 $\check{G}_{\mathbb{Z}}$와 동형이며, 이 동형은 유니포텐트 이소지니의 정리에 의해 유도된다.
• 증명은 $\mathbb{Z}$ 위에서 먼저 수행된 후, 양의 특성 체의 경우로 유도되며, 직접적으로 양의 특성 체에서의 증명은 알려진 lin이 어렵기 때문이다.