[논문 리뷰] Geometric mean extension for data sets with zeros

Roberto de la Cruz, Jan‐Ulrich Kreft|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 17.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 14인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 영 값을 다룰 수 있는 데이터 의존적 기하 평균 확장법을 제안하며, 두 가지 핵심 조건인 복원성(영이 없는 데이터에서는 표준 기하 평균으로 복원됨)과 단조성(영을 추가해도 증가하지 않음)을 만족한다. 이 방법은 표준 기하 평균의 상대적 편차에서 유도된 편향 매개변수 δ를 사용하여 다양한 영을 포함한 데이터셋 간의 강건성과 일관성을 확보한다.

ABSTRACT

There are numerous examples in different research fields where the use of the geometric mean is more appropriate than the arithmetic mean. However, the geometric mean has a serious limitation in comparison with the arithmetic mean. Means are used to summarize the information in a large set of values in a single number; yet, the geometric mean of a data set with at least one zero is always zero. As a result, the geometric mean does not capture any information about the non-zero values. The purpose of this short contribution is to review solutions proposed in the literature that enable the computation of the geometric mean of data sets containing zeros and to show that they do not fulfil the `recovery' or `monotonicity' conditions that we define. The standard geometric mean should be recovered from the modified geometric mean if the data set does not contain any zeros (recovery condition). Also, if the values of an ordered data set are greater one by one than the values of another data set then the modified geometric mean of the first data set must be greater than the modified geometric mean of the second data set (monotonicity condition). We then formulate a modified version of the geometric mean that can handle zeros while satisfying both desired conditions.

연구 동기 및 목표

• 표준 기하 평균이 데이터 포인트 중 하나라도 영이면 영이 되어 비영 값에 대한 정보를 상실하는 한계를 해결하기 위해.
• 특히 복원성과 단조성 조건을 만족하지 못하는, 영을 포함한 데이터셋에서 기하 평균을 계산하는 기존 해법을 평가하기 위해.
• 영이 없는 데이터셋에서는 표준 기하 평균을 유지하는 복원성, 영이 추가될 경우 증가하지 않는 단조성 조건을 만족하는 수정된 기하 평균을 개발하기 위해.
• 영이 존재하는 상황에서도 신뢰할 수 있는 기하 평균과 표준편차를 계산할 수 있는 실용적이고 데이터 적응형 방법을 제공하여 다양한 데이터셋 간 비교에 적합하게 하기 위해.

제안 방법

• 데이터셋 $ X $ 에 따라 달라지는 수정된 기하 평균 $ G_{\rho,X} $ 를 정의하고, 영 값을 보정하기 위해 편향 매개변수 $ \delta $ 를 사용한다.
• 복원 조건을 확보하기 위해, 표준 기하 평균 $ G(X_+) $ 와 수정된 평균 $ G_{\epsilon,X}(X) $ 간의 상대적 차이가 $ \epsilon $ 이내가 되도록 하기 위해 이분법을 사용하여 $ \delta $ 를 계산한다.
• 수정된 기하 평균을 $ G_{\epsilon,X}(X) = \left( \prod_{i=1}^n (x_i + \delta)^{1/n} \right) $ 로 정의하며, 이때 $ \delta $ 는 복원 조건을 만족하도록 선택된다.
• 모든 데이터 값이 증가할 때만 수정된 평균이 증가하고, 영이 추가될 경우 절대 증가하지 않도록 하여 단조성을 확보한다.
• 모든 데이터셋에서의 최소 $ \delta $ 를 사용하여 통합된 비교 절차를 제안함으로써, 일관된 비교를 위한 편향 매개변수 표준화를 실현한다.
• 편향된 값과 수정된 기하 평균을 사용하여 기하 표준편차 $ \sigma_{gsd}^{\epsilon,X} $ 를 정의함으로써 방법을 기하 표준편차로 확장하나, 그로 인한 과도한 팽창 가능성에 주의를 환기시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영이 없는 경우 표준 기하 평균으로 복원되는 수정된 기하 평균을 구성할 수 있는가?
• RQ2 데이터셋에 영이 추가될 경우 수정된 기하 평균이 감소하지 않는가?
• RQ3 통계적 무결성을 유지하면서 영이 포함된 데이터셋에서 기하 평균을 계산할 수 있는 일관되고 데이터 적응형 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ4 수정된 기하 평균을 기하 표준편차로 확장할 수 있는가? 이 경우 과도한 변동성이 유발되지 않는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 헤비브의 방법이나 +1 이동 방법과 달리 복원성과 단조성 조건을 모두 만족한다.
• 수정된 기하 평균 $ G_{\epsilon,X} $ 는 $ \delta $ 에 대해 엄격히 증가하므로, 데이터 순서와 단조성 행동을 일관되게 유지한다.
• 비영 값 983개와 영 17개로 구성된 데이터셋에서, 추가적인 영이 포함되더라도 수정된 기하 평균은 안정적이고 감소하지 않으며, 헤비브의 방법과 달리 증가 후 감소하는 경향을 보이지 않는다.
• 영이 추가될 경우 수정된 기하 표준편차는 과도하게 커질 수 있으므로, 현재 공식화 방식의 한계를 나타낸다.
• 모든 데이터셋에서의 최소 $ \delta $ 를 사용함으로써, 편향 매개변수를 표준화하여 신뢰할 수 있는 다중 데이터셋 비교를 가능하게 한다.
• 저자들은 재현성과 적용을 지원하기 위해 GitHub에 MATLAB 및 Python으로 구현된 오픈소스 코드를 제공한다.