[논문 리뷰] Geometric mean method for judgement matrices: Formulas for errors

I. L. Tomashevskii|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 03.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양대 비교 행렬에 대한 기하평균법(Geometric Mean Method, GMM)의 오랜 신뢰성 문제를 해결하기 위해 GMM 수치 오차에 대한 정확한 공식을 유도한다. GMM을 표준 측정 과정으로 모델링하고 오차 지표를 통합함으로써, 이전에 GMM과 고유벡터법(Eigenvector Method, EM) 모두에서 관찰된 순위 뒤집힘 현상을 제거하고, GMM이 양의 요소에 대해 정확성과 일관성 면에서 EM과 동일한 수준의 완전한 신뢰성 있는 의사결정 지원 도구로 확립한다.

ABSTRACT

The geometric mean method (GMM) and the eigenvector method (EM) are well-known approaches to deriving information from pairwise comparison matrices in decision making processes. However, the original algorithms of these methods are logically incomplete and have significant drawbacks: their actual numerical errors are unknown and their reliability is doubted by different rank reversal phenomena including the GMM-EM ones. Recently (Tomashevskii 2015: Eur J Oper Res 240:774-780), the actual numerical errors were found for EM, and it was shown that all EM rank reversal phenomena have the same cause and are eliminated when the errors are taken into account. In this paper the similar ap-proach is used for GMM: we associate GMM with some standard measuring procedure, ana-lyze this procedure from the viewpoint of measurement theory, and find the actual GMM errors. We show that the GMM and the GMM-EM rank reversal phenomena are eliminated when the GMM and the EM errors are taken into account. The GMM decision support tool, which has all components of a standard measuring tool, is composed of pairwise comparisons as an initial measuring procedure, GMM as a data processor, and the obtained formulas for GMM errors as an error indicator. This tool is analogous to the EM decision support tool received earlier in the above paper. It is shown that the EM and the GMM versions of the tool are equally suitable to measure and rank any comparable elements with positive numerical values. We also analyze the Geometric Consistency Index usually used in the original GMM to measure of the inconsistency and to accept or reject an inconsistent pairwise comparison matrix, and show that this index is not an acceptable GMM error indicator.

연구 동기 및 목표

• 원래 GMM 알고리즘의 논리적 불완전성과 알려지지 않은 수치 오차 문제를 해결하기 위해.
• 의사결정 과정의 신뢰성을 해치는 GMM 및 GMM-EM 비교에서 지속적으로 발생하는 순위 뒤집힘 현상을 해결하기 위해.
• 오차 지표를 갖춘 최근에 확립된 EM 기반 도구와 유사한 완전한 GMM 전용 의사결정 지원 도구를 개발하기 위해.
• 기하평균 일관성 지수(Geometric Consistency Index, GCI)가 GMM에서의 불일관성 측정치로 타당한지 평가하기 위해.
• 오차가 적절히 고려될 경우 GMM과 EM이 양의 요소를 비교 가능한 요소의 측정 및 순위 매기기에 동일하게 적합한지 입증하기 위해.

제안 방법

• GMM을 표준 측정 절차로 모델링하고 측정 이론에 통합하여 오차 원인을 정의하기 위해.
• 통계 및 최적화 원리를 사용하여 GMM 내 실제 수치 오차에 대한 명시적 수학적 공식을 유도하기 위해.
• 유도된 오차 공식을 포함한 완전한 의사결정 지원 도구를 구성하기 위해 세 가지 구성 요소(양대 비교(입력), GMM(데이터 처리), 오차 지표(출력))를 통합하기 위해.
• 오차 보정 순위를 사용하여 동일 조건에서 GMM의 성능을 고유벡터법(EM)과 비교하기 위해.
• 기하평균 일관성 지수(GCI)를 잠재적 불일관성 측정치로 분석하고, 오차 지표로서의 타당성을 평가하기 위해.
• 이전에 발표된 EM에 적용된 동일한 이론적 프레임워크를 사용하여 GMM 및 EM 도구 간의 일관성과 비교 가능성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양대 비교 행렬에 대한 기하평균법(Geometric Mean Method, GMM)의 실제 수치 오차는 무엇인가?
• RQ2 왜 GMM 및 GMM-EM에서 순위 뒤집힘 현상이 발생하는가? 오차를 고려함으로써 이를 제거할 수 있는가?
• RQ3 기하평균 일관성 지수(Geometric Consistency Index, GCI)는 GMM 오차의 타당한 지표인가, 아니면 오해의 소지가 있는가?
• RQ4 고유벡터법(EM)에 대해 이전에 개발된 것과 유사한 오차 지표를 갖춘 완전한 GMM 전용 의사결정 지원 도구를 구축할 수 있는가?
• RQ5 오차가 적절히 고려될 경우 GMM과 EM은 양의 요소를 비교 가능한 요소의 순위 매기기에 동일하게 신뢰성 있고 정확한가?

주요 결과

• 기하평균법(Geometric Mean Method, GMM)의 실제 수치 오차가 명시적 수학적 공식을 사용하여 유도되었으며, 이를 통해 정량화 가능함을 입증하였다.
• 유도된 오차 공식을 적용함으로써 GMM 및 GMM-EM의 모든 순위 뒤집힘 현상이 제거되었으며, 이는 주요 신뢰성 문제를 해결한 것이다.
• 기하평균 일관성 지수(Geometric Consistency Index, GCI)는 GMM에 대한 타당한 오차 지표가 아니며, 매트릭스의 불일관성 평가 또는 수용/기각 판단에 사용해서는 안 된다.
• 완전한 의사결정 지원 도구가 세 가지 구성 요소(양대 비교, GMM 처리, 오차 지표)를 포함하여 구성되었으며, 이는 EM 기반 도구와 동기적으로 작동함을 입증하였다.
• 오차가 고려될 경우, GMM과 EM은 어떤 양의 요소를 비교 가능한 요소로 측정하고 순위를 매기는 데 동일하게 적합하다.
• 본 연구는 두 방법에서의 순위 뒤집힘의 근본 원인이 적절한 오차 정량화의 부재에 있음을 확인하였으며, 이는 이제 GMM에 대해 해결된 바 있다.