[논문 리뷰] Geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 03.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 변수에 대한 대칭 d-모드 텐서의 스펙트럼 노름에 대한 폐쇄형 공식을 유도하여, 대칭 d-큐비트에 대한 얽힘의 기하 측도가 다항시간에 계산 가능하다는 것을 증명한다. 이 방법은 최대 (d−1)²+1차의 단변수 다항식의 근을 찾는 문제로 문제를 축소시켜 표준 근 찾기 알고리즘을 통해 효율적인 계산을 가능하게 하며, 특수한 경우에 대해서는 다항시간 근사 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We give a simple formula for finding the spectral norm of d-mode symmetric tensor in two variables over the complex or real numbers in terms of the complex or real roots of a corresponding polynomial in one complex variable. This result implies that the geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable. We discuss a generalization to d-mode symmetric tensor in more than two variables.

연구 동기 및 목표

• 양자정보이론에서 핵심적인 역할을 하는 대칭 d-큐비트에 대한 얽힘의 기하 측도의 계산 복잡도를 해결하기 위해.
• 복소수 및 실수 체 위에서 대칭 d-큐비트의 스펙트럼 노름을 계산하기 위한 분석적 방법을 개발하기 위해.
• 스펙트럼 노름 계산이 단일 변수 다항식 방정식을 푸는 것으로 축소됨을 보여주어 다항시간 알고리즘을 가능하게 하기 위해.
• 실수 대칭 텐서로 이 프레임워크를 확장하고 특수한 경우에 대한 근사를 제공하기 위해.
• n ≥ 3 수준을 가진 대칭 d-큐디트에 대해서도 다항시간 계산 가능성을 추측하기 위해.

제안 방법

• 최대 (d−1)²+1차의 단변수 다항식의 근을 포함하는 함수의 최대값으로 대칭 d-큐비트의 스펙트럼 노름을 유도하는 공식을 유도한다.
• 바나흐의 정리를 통한 스펙트럼 노름 특성화를 사용하여, 단위 구면 위의 동차 다항식의 임계점과의 관계를 규명한다.
• 복소수 및 실수 공간에서 다항식 사상의 固정점과 반대칭 고정점의 수를 유계화하기 위해 차수 이론을 적용한다.
• 텐서의 대칭성과 체의 종류에 따라 유도된 다항식 zv(z) − u(z)의 복소수 또는 실수 근을 계산하는 것으로 문제를 축소한다.
• 단변수 다항식에 대해 다항시간 정밀도 보장을 갖는 표준 수치적 근 찾기 알고리즘을 활용한다.
• 주요 공식이 적용되지 않는 특수한 대칭 d-큐비트 가족에 대해 다항시간 근사 알고리즘을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 d-큐비트의 기하 얽힘 측도는 다항시간에 계산 가능한가?
• RQ2 대칭 d-큐비트의 스펙트럼 노름과 단변수 다항식의 근 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 실수와 복소수 대칭 d-큐비트 간의 스펙트럼 노름 계산은 어떻게 다를까?
• RQ4 대칭 텐서와 관련된 다항식 사상의 임계점의 구조는 어떠한가?
• RQ5 n ≥ 3 수준을 가진 대칭 d-큐디트의 스펙트럼 노름 역시 다항시간에 계산 가능한가?

주요 결과

• 스펙트럼 노름은 최대 (d−1)²+1차의 단변수 다항식의 근을 찾는 것으로 축소되어 다항시간에 계산 가능하다.
• 실수 대칭 d-큐비트의 경우 실수 스펙트럼 노름은 최대 d+1차의 다항식의 실근에만 의존한다.
• 단변수 다항식에 대한 효율적인 근 찾기 알고리즘이 존재하므로, 대칭 d-큐비트의 기하 얽힘 측도는 다항시간에 계산 가능하다.
• 예제 A.15에서 스펙트럼 노름은 0.3953으로 계산되었으며, 알려진 값 √(5/32)와 일치한다.
• 예제 A.16에서 스펙트럼 노름은 0.4125로 계산되었으며, 이는 이론적 값 √(28/243)과 일치한다.
• 이 방법은 주요 공식이 적용되지 않는 특수한 대칭 d-큐비트 가족에 대해 다항시간 근사를 제공한다.