[논문 리뷰] Geometric structures and Lie algebroids

Ralph L. Klaasse|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 27.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 76인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 $ abla$-리 대수다발을 통해 파동, 딜라크, 일반화된 복소기하학적 구조와 같은 기하학적 구조의 특이점을 해결하기 위한 프레임워크로 도입한다. 특이점은 해당 구조가 포함된 리 대수다발 내에서 흡수된다. 주요 기여는 크라인 및 메스트의 분할 정리에 대한 $ abla$-해석을 제공하며, $ abla$-수직인 부분다양체 주변에서 유효한 국소 모델을 구축하기 위해 오일러 유사 벡장과 $ abla$-상승을 사용한다. 이는 심플렉틱 및 파이송 기법을 특이적인 설정에 적용할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this thesis we study geometric structures from Poisson and generalized complex geometry with mild singular behavior using Lie algebroids. The process of lifting such structures to their Lie algebroid version makes them less singular, as their singular behavior is incorporated in the anchor of the Lie algebroid. We develop a framework for this using the concept of a divisor, which encodes the singularities, and show when structures exhibiting such singularities can be lifted to a Lie algebroid built out of the divisor. Once one has successfully lifted the structure, it becomes possible to study it using more powerful techniques. In the case of Poisson structures one can turn to employing symplectic techniques. These lead for example to normal form results for the underlying Poisson structures around their singular loci. In this thesis we further adapt the methods of Gompf and Thurston for constructing symplectic structures out of fibration-like maps to their Lie algebroid counterparts. More precisely, we introduce the notion of a Lie algebroid Lefschetz fibration and show when these give rise to A-symplectic structures for a given Lie algebroid A. We then use this general result to show how log-symplectic structures arise out of achiral Lefschetz fibrations. Moreover, we introduce the concept of a boundary Lefschetz fibration and show when they allow their total space to be equipped with a stable generalized complex structure. Other results in this thesis include homotopical obstructions to the existence of A-symplectic structures using characteristic classes, and splitting results for A-Lie algebroids (i.e., Lie algebroids whose anchor factors through that of a fixed Lie algebroid A), around specific transversal submanifolds.

연구 동기 및 목표

• 특이성이 약간 있는 기하학적 구조를 연구하기 위한 프레임워크를 개발하기 위해 특이점이 흡수되는 리 대수다발에 포함시켜 구조를 정의한다.
• 비퇴화된 구조를 $ abla$-리 대수다발에 구성함으로써 심플렉틱 및 파이송 기법을 특이적인 설정으로 일반화한다.
• 리 대수다발에 대한 고전적 분할 정리의 $ abla$-해석을 수립하여 $ abla$-수직인 부분다양체 주변에서 국소 모델을 구성할 수 있도록 한다.
• 로그-파이송, 접힌-심플렉틱, 안정된 일반화된 복소기하학적 등과 같은 특이 기하학적 구조를 $ abla$-구조를 사용해 체계적으로 상승 및 해결하는 방법을 제공한다.
• 모스어 기법과 레프셰츠 필라션과 같은 고전적 미분기하학 도구를 $ abla$-리 대수다발 설정으로 확장하여 이러한 구조를 생성하고 분류한다.

제안 방법

• 연결 $ abla$를 통해 앵커 사상이 상승된 $ abla$-기반 벡터다발과 $ abla$-리 대수다발을 도입하여 리 대수다발의 일반화로 정의한다.
• 부분다양체에 대한 $ abla$-수직성 조건을 정의하고, 강한 원형근처 포함을 통한 정규다발의 당김을 통해 $ abla$-선형 근사 구조를 구성한다.
• 섹션의 $ abla$-상승을 사용하여 $ abla$-수직인 부분다양체를 따라 오일러 유사인 무한소 자동형사 $ ilde{V}$를 리 대수다발 위에 구성한다.
• 고전적 분할 정리의 $ abla$-해석( $ abla$-상승과 강한 원형근처 포함을 통해)을 적용하여 $ abla$-리 대수다발의 국소 모델을 구축한다.
• 모스어 유사 기법과 레프셰츠 필라션을 $ abla$-설정에 적용하여 $ abla$-심플렉틱 및 $ abla$-일반화된 복소기하학적 구조를 생성한다.
• 특성류와 안정된 다발 동형사슬을 사용하여 $ abla$-남부 및 $ abla$-근본복소기하학적 구조 존재에 대한 호모토피적 제약 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그-파이송 또는 접힌-심플렉틱 구조와 같은 특이 기하학적 구조가 리 대수다발 위에서 비퇴화된 구조로 해결될 수 있는가?
• RQ2 리 대수다발에 대한 고전적 분할 정리의 $ abla$-해석은 무엇이며, $ abla$-수직인 부분다양체에 어떻게 적용되는가?
• RQ3 필라션과 모스어 기법을 사용하여 $ abla$-심플렉틱 및 $ abla$-일반화된 복소기하학적 구조를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 주어진 $ abla$-리 대수다발 위에서 $ abla$-남부 또는 $ abla$-근본복소기하학적 구조 존재에 대한 호모토피적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 $ abla$-프레임워크를 사용하여 딜라크 및 파이송 구조의 분할형 특이성을 상승 및 분류할 수 있는가?

주요 결과

• $ abla$-리 대수다발에 대한 분할 정리의 $ abla$-해석이 확립되었다: 임의의 $ abla$-수직인 부분다양체 $N \to X$에 대해, 기저 사상이 강한 원형근처 포함인 $ abla$-기반 벡터다발의 유일한 동형사 $ ilde{\rho}: p^!i^!E_{\nabla} \to E_{\nabla}|_U$ 가 존재한다.
• $ abla$-리 대수다발의 경우 동일한 결과가 $ abla$-리 대수다발의 동형사로서 성립하여, 리 대수다발의 구조와의 호환성이 보장된다.
• $ abla$-수직인 부분다양체를 따라 오일러 유사인 무한소 자동형사 $ ilde{V} \to \nabla$-리 대수다발이 존재하며, 이는 국소 모델의 구성에 기여한다.
• 이러한 $ ilde{V}$의 존재는 앵커 사상의 $ abla$-상승과 $ abla$-기반 다발의 $ abla$-포괄성 조건에 의해 보장된다.
• $ abla$-심플렉틱 및 $ abla$-일반화된 복소기하학적 구조는 $ abla$-레프셰츠 필라션과 경계 사상의 조합을 통해 구성되었으며, 고전적 방법을 일반화한다.
• $ abla$-남부 또는 $ abla$-근본복소기하학적 구조 존재에 대한 호모토피적 제약 조건은 안정된 다발 동형사의 특성류를 통해 계산되었다.