[논문 리뷰] Geometric structures on Lie groups with flat bi-invariant metric

Vicente Cortés, Lars Schäfer|ArXiv.org|2009. 07. 31.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2단계 비아벨 리 군에 평탄한 양측 불변 계량을 갖춘 것을 사용하여 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체를 분류한다. 이러한 다양체는 J² = ±Id를 만족하는 반대칭 엔도모르피즘 J에 대해 유형 (3,0)+(0,3)을 가지며, 지배적인 지지부를 갖는 3벡터 η ∈ Λ³L로부터 유래되며, 거의 카플레르 또는 거의 파라-카플레르 구조를 이룬다. 주요 기여는 완전한 분류이다: 이러한 모든 다양체는 어떤 η ∈ Λ³L에 대해 L(η)로 국소적으로 동형이며, η가 유리수 계수를 가질 경우 격자에 의한 컴act 비동형 예가 존재한다.

ABSTRACT

Let L\subset V=\bR^{k,l} be a maximally isotropic subspace. It is shown that any simply connected Lie group with a bi-invariant flat pseudo-Riemannian metric of signature (k,l) is 2-step nilpotent and is defined by an element η\in Λ^3L\subset Λ^3V. If ηis of type (3,0)+(0,3) with respect to a skew-symmetric endomorphism J with J^2=\e Id, then the Lie group {\cal L}(η) is endowed with a left-invariant nearly Kähler structure if \e =-1 and with a left-invariant nearly para-Kähler structure if \e =+1. This construction exhausts all complete simply connected flat nearly (para-)Kähler manifolds. If η eq 0 has rational coefficients with respect to some basis, then {\cal L}(η) admits a lattice Γ, and the quotient Γ\setminus {\cal L}(η) is a compact inhomogeneous nearly (para-)Kähler manifold. The first non-trivial example occurs in six dimensions.

연구 동기 및 목표

• 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체를 리 군 위의 기하학적 구조를 사용하여 분류하는 것.
• 평탄한 양측 불변 계량을 갖는 단순연결 리 군이 왼쪽 불변 거의 (파라-)카플레르 구조를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 정의하는 3벡터가 유리수 계수를 가질 경우 이러한 리 군의 격자에 의한 몫을 통해 컴팩트 비동형 거의 (파라-)카플레르 다양체를 구성하는 것.
• η ∈ Λ³L이 유형 (3,0)+(0,3)을 가지며 J² = ±Id를 만족하는 J에 대해 모든 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체가 이러한 구성으로 완전히 포함됨을 보이는 것.

제안 방법

• 지지부 L ⊂ V = ℝ^{k,l}를 갖는 3벡터 η ∈ Λ³V로부터 2단계 비아벨 리 군 L(η)을 구성하며, L은 최대 지배적인 지지부이다.
• η가 지배적인 지지부를 갖도록 하여 L(η) 위에 평탄한 양측 불변의 의사리만드 계량 h를 정의함으로써, 계량의 부호가 V의 부호와 일치하도록 보장한다.
• V 위에 J² = -Id 또는 +Id를 만족하는 반대칭 엔도모르피즘 J를 도입하여 L(η) 위에 거의 (파라-)복소 구조 J를 정의한다.
• J에 대해 η가 유형 (3,0)+(0,3)임을 조건으로 하여, 거의 (파라-)복소 구조가 거의 (파라-)카플레르 구조와 호환됨을 보장한다.
• η가 유리수 계수를 가질 경우 L(η)에 격자 Γ가 존재하므로, 몫 Γ\L(η)를 구성함으로써 컴팩트 비동형 거의 (파라-)카플레르 다양체를 얻는다.
• 모든 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체가 이러한 군 L(η)와 국소적으로 동형임을 증명함으로써 완전한 분류를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄한 양측 불변 의사리만드 계량을 갖는 단순연결 리 군이 왼쪽 불변 거의 (파라-)카플레르 구조를 갖는 데 필요한 충분한 조건는 무엇인가?
• RQ2 기하학적 구조를 리 군에 적용하여 모든 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체를 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ3 리 군 L(η)의 격자 Γ에 의한 몫이 컴팩트 비동형 거의 (파라-)카플레르 다양체가 되는 조건는 무엇인가?
• RQ4 이러한 평탄한 거의 파라-카플레르 다양체의 모듈리 공간은 무엇이며, GL(n)의 작용 하에 3벡터의 궤도 공간으로 어떻게 매개화되는가?

주요 결과

• 모든 완전하고 단순연결된 평탄한 거의 (파라-)카플레르 다양체는 평탄한 양측 불변 계량과 왼쪽 불변 거의 (파라-)카플레르 구조를 갖는 리 군 L(η)로 유도된다.
• 이 구성은 완전하다: 이러한 모든 다양체는 어떤 η ∈ Λ³L에 대해 지배적인 지지부와 J² = ±Id를 만족하는 J에 대해 유형 (3,0)+(0,3)을 갖는 L(η)와 국소적으로 동형이다.
• η가 기저에 대해 유리수 계수를 가질 경우 L(η)는 격자 Γ를 갖으며, 몫 Γ\L(η)는 컴팩트 비동형 거의 (파라-)카플레르 다양체가 된다.
• 비자명한 첫 번째 컴팩트 예는 여섯 차원에서 발생하며, J의 +1-고유공간 V⁺에 속하는 비자명한 η ∈ Λ³V⁺ ⊂ ℝ^{3,3}로부터 유도된다.
• 형식 (p,q)의 평탄한 거의 파라-카플레르 다양체의 모듈리 공간은 Λ⁻_{reg}L / GL(p) × GL(q)와 동형이며, 여기서 L = L⁺ + L⁻는 τ-불변 최대 지배적인 지지부이다.
• 분류 결과는 이러한 모든 다양체가 평탄한 파라-카플레르 성분 ℝ^{l,l}과 분열 부호수 (m,m), m ≥ 3인 строго한 거의 파라-카플레르 성분의 의사리만드 곱임을 보여준다.