[논문 리뷰] Geometric variants of the Hofer norm

Dusa McDuff|ArXiv.org|2001. 03. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 다양체의 하밀토니안 군 위에서 호퍼 노름의 기하학적 변종을 도입하며, $S^2$ 위의 섬유화된 심플렉틱 필라션을 사용하여 한쪽 방향의 준노름을 정의한다. $C^2$ 위상에서 항등원에 매우 가까운 원소들에 대해, 이들의 경로 중에서 동치류 내부의 경로뿐 아니라 모든 경로 중에서도 최소 길이를 가지는 호퍼 노름의 실현이 가능하다는 것을 증명함으로써 진정한 기하학적 길이를 가지는 경로의 존재를 입증한다. 핵심 기여는 짧은 고리에 의해 생성된 필라션에 대해 가중치가 부여된 비압축 정리이며, 이는 특히 $\mathbb{C}P^n$ 또는 약하게 정확한 다양체와 같은 특정 케이스에서 준노름의 비퇴화성을 보여준다.

ABSTRACT

This note discusses some geometrically defined seminorms on the group $\Ham(M, ω)$ of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold $(M, ω)$, giving conditions under which they are nondegenerate and explaining their relation to the Hofer norm. As a consequence we show that if an element in $\Ham(M, ω)$ is sufficiently close to the identity in the $C^{2}$-topology then it may be joined to the identity by a path whose Hofer length is minimal among all paths, not just among paths in the same homotopy class relative to endpoints. Thus, true geodesics always exist for the Hofer norm. The main step in the proof is to show that a "weighted" version of the nonsqueezing theorem holds for all fibrations over $S^2$ generated by sufficiently short loops.Further, an example is given showing that the Hofer norm may differ from the sum of the one sided seminorms.

연구 동기 및 목표

• 하밀토니안 군 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 위에 기하학적으로 정의된 준노름, 특히 호퍼 노름의 한쪽 방향 및 양쪽 방향 변종을 연구한다.
• 이 준노름이 비퇴화가 되는 조건을 규명하며, 특히 호퍼 노름과의 관계를 고려한다.
• 호퍼 노름에 대해 진정한 기하학적 길이를 가지는 경로의 존재를 $C^2$-위상에서 항등원 근처의 경로 분석을 통해 입증한다.
• 짧은 고리에 의해 생성된 $S^2$ 위의 가중치가 부여된 필라션에 대해 비압축 정리를 확장한다.
• 호퍼 노름과 한쪽 방향 준노름의 합을 비교하여, 이들이 다를 수 있음을 보인다.

제안 방법

• 하밀토니안 경로 $\mathrm{id}$ 에서 $\phi$ 로 가는 경로들에 대해 $\mathcal{L}^+(H_t)$ 와 $\mathcal{L}^-(H_t)$ 의 최소값으로 정의된 한쪽 방향 준노름 $\rho^+(\phi)$ 와 $\rho^-(\phi)$ 를 정의한다. 여기서 $\mathcal{L}^\pm$ 은 평균값에서의 양/음의 편차를 측정한다.
• 양자 homology 링을 분석하고 필라션 내의 비자명한 힐베르트 곡선을 탐지하기 위해 수정된 시델 표현 $\Psi: \pi_1(\mathrm{Ham}) \to (QH_{\mathrm{ev}}(M))^\times$ 을 사용한다.
• 짧은 고리에 의해 생성된 심플렉틱 필라션 $P \to S^2$ 에 대해, 코homology 클래스의 제약 조건으로 인해 특정 섹션 클래스가 존재할 수 없음을 보여, 비압축 정리의 가중치 버전을 증명한다.
• 그로모프 컴acts와 힐베르트 곡선 분석을 적용하여 음의 수직 코호몰로지 수를 가진 힐베르트 곡선의 존재를 배제함으로써 준노름의 비퇴화성을 입증한다.
• 양자 코hom로지의 valuation 추론을 사용하여 $\rho^+(k\alpha)$ 와 $\rho^-(k\alpha)$ 의 bound 를 구하며, 특히 매개수 $a$ 를 가진 $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ 의 경우를 고려한다.
• 특정 예시를 구성함으로써 $M_*$ 상에서 호퍼 노름과 한쪽 방향 준노름의 합 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 가 다를 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 변종 호퍼 노름이 비퇴화가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 진정한 기하학적 길이를 가지는 경로가 호퍼 노름에 대해 존재할 수 있는가? 즉, 동치류 내부의 경로뿐 아니라 모든 경로 중에서 최소 길이를 가지는 경로가 존재하는가?
• RQ3 짧은 고리에 의해 생성된 $S^2$ 위의 심플렉틱 필라션에 대해 가중치가 부여된 비압축 정리가 성립하는가?
• RQ4 수정된 시델 표현은 비자명한 심플렉틱 필라션을 어떻게 탐지하고, 힐베르트 곡선의 행동을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 호퍼 노름은 한쪽 방향 준노름의 합 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 와 다를 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 원소 중에서 $C^2$-위상에서 항등원에 매우 가까운 원소들에 대해, 동치류 내부의 경로뿐 아니라 모든 경로 중에서도 최소 길이를 가지는 경로가 존재함을 증명함으로써 진정한 기하학적 길이를 가지는 경로의 존재를 입증한다.
• 한쪽 방향 준노름의 합으로 정의된 준노름 $\rho_f$ 는 항상 비퇴화되며, $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 는 $M = \mathbb{C}P^n$ 또는 약하게 정확한 다양체와 같은 특수 조건에서에만 비퇴화된다.
• 매우 짧은 고리에 의해 생성된 $S^2$ 위의 필라션에 대해 가중치가 부여된 비압축 정리가 성립하며, 이는 준노름의 비퇴화성을 입증하는 데 핵심적이다.
• $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ 와 심플렉틱 형식 $\omega_a$ 에서, 고리 $2\alpha$ 의 최소 길이는 $\pi(1 - a^2)$ 로서 $\omega(F)$ 와 일치하며, 이 값은 하밀토니안 고리에 의해 달성된다.
• $k \to \infty$ 에서의 한쪽 방향 성장률 $\ell^+(k\alpha)/k$ 는 $\frac{(1 - a^2)^2}{12(1 + a^2)}$ 보다 아래로 제한되며, 이는 $a < 1$ 이면 비영인 하한을 가지며, 이는 $k \to -\infty$ 에서는 유사한 하한이 확보되지 않는다.
• 호퍼 노름 $\rho(\phi)$ 는 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 와 다를 수 있으며, 이는 $M_*$ 상에서의 구체적 예시를 통해 입증되었다.