[논문 리뷰] Geometrical and analytical characteristic properties of piecewise affine mappings

Valentin V. Gorokhovik|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 06.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 노름 공간 간의 조각별 애फ인 사상의 기하학적 및 분석적 특성화를 수립한다. 어떤 사상이 조각별 애फ인임은 그 사상의 임의의 다각형 순서에 대한 에피그래프와 하이퍼그래프가 모두 유한한 개수의 볼록 다각형 집합의 합집합임과 동치이며, 이러한 사상들이 모든 애फ인 사상들을 포함하는 가장 작은 벡터 부분격자임을 보이고, 애फ인 성분들을 통한 최소-최대 표현을 제시한다.

ABSTRACT

Let X and Y be finite dimensional normed spaces, F(X,Y) a collection of all mappings from X into Y. A mapping $P\in F(X,Y)$ is said to be piecewise affine if there exists a finite family of convex polyhedral subsets covering X and such that the restriction of $P$ on each subset of this family is an affine mapping. In the paper we prove a number of characterizations of piecewise affine mappings. In particular we show that a mapping $P: X o Y$ is piecewise affine if and only if for any partial order $\preceq$ defined on Y by a polyhedral convex cone both the $\preceq$-epigraph and the $\preceq$-hypograph of P can be represented as the union of finitely many convex polyhedral subsets of $X imes Y$. When the space Y is ordered by a minihedral cone or equivalently when Y is a vector lattice the collection F(X,Y) endowed with standard pointwise algebraic operations and the pointwise ordering is a vector lattice too. In the paper we show that the collection of piecewise affine mappings coincides with the smallest vector sublattice of F(X,Y) containing all affine mappings. Moreover we prove that each convex (with respect to an ordering of Y by a minihedral cone) piecewise affine mapping is the least upper bound of finitely many affine mappings. The collection of all convex piecewise affine mappings is a convex cone in F(X,Y) the linear envelope of which coincides with the vector subspace of all piecewise affine mappings.

연구 동기 및 목표

• 에피그래프와 하이퍼그래프의 기하학적 성질을 통해 조각별 애फ인 사상을 특성화하기.
• 모든 애फ인 사상들을 포함하는 모든 사상의 공간 내에서 조각별 애फ인 사상들의 집합이 가장 작은 벡터 부분격자임을 확립하기.
• 유한 개의 애फ인 사상들의 상한으로서 표현 가능한 볼록 조각별 애फ인 사상의 분석적 표현 제공하기.
• 국소 볼록 위상에서 연속 사상 공간 내에서 조각별 애फ인 사상들의 조밀성 증명하기.
• 결과를 조각별 선형 사상으로 확장하고 격자 연산을 통한 표현 제공하기.

제안 방법

• 정의: 도메인 공간을 덮는 유한 개의 볼록 다각형 부분집합에서 애फ인인 사상으로서 조각별 애फ인 사상을 정의한다.
• 유한 개의 닫힌 반공간의 교집합과 합집합을 통한 다각형 집합 및 그 표현을 사용하여 도메인의 구조를 특성화한다.
• 다각형 볼록 코ーン에 의해 유도된 상대적 순서를 공도메인에 도입하고, 이러한 순서 하에서 사상의 에피그래프와 하이퍼그래프를 분석한다.
• 사상이 조각별 애फ인임은 $\preceq$-에피그래프와 $\preceq$-하이퍼그래프가 모두 $X \times Y$ 내 유한 개의 볼록 다각형 집합의 합집합임과 동치임을 증명한다.
• 공도메인이 벡터 격자임(최소다각형 코너에 의해 순서가 정의됨)일 때, 조각별 애फ인 사상의 집합이 모든 애फ인 사상들을 포함하는 가장 작은 벡터 부분격자임을 확립한다.
• 최소-최대 표현 유도: $P(x) = \inf_i \sup_j A_{ij}(x)$ 및 $P(x) = \sup_j \inf_i A_{ij}(x)$, 여기서 $A_{ij}$는 애फ인 사상이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공도메인이 $Y$에 다각형 순서에 의해 유도된 부분순서 $\preceq$에 대해, 사상 $P: X \to Y$가 언제 조각별 애फ인일까?
• RQ2 모든 $X$에서 $Y$로의 사상들의 격자 내에서 조각별 애फ인 사상은 어떻게 대수적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 볼록 조각별 애फ인 사상과 유한 개의 애फ인 사상들의 상한 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 연속 사상은 컴팩트 집합에서 조각별 애फ인 사상으로 균일하게 근사될 수 있는가?
• RQ5 격자 연산과 선형 성분을 통해 조각별 선형 사상의 등가 특성화는 무엇인가?

주요 결과

• 사상 $P: X \to Y$가 조각별 애फ인임은, $Y$ 내 다각형 볼록 코너에 의해 유도된 임의의 부분순서 $\preceq$에 대해, $P$의 $\preceq$-에피그래프와 $\preceq$-하이퍼그래프가 모두 $X \times Y$ 내 유한 개의 볼록 다각형 집합의 합집합임과 동치이다.
• 공도메인이 벡터 격자임(최소다각형 코너에 의해 순서가 정의됨)일 때, 조각별 애फ인 사상들의 집합은 모든 애फ인 사상들을 포함하는 $\mathcal{F}(X,Y)$의 가장 작은 벡터 부분격자이다.
• 모든 볼록 조각별 애फ인 사상 $P: X \to Y$는 유한 개의 애फ인 사상들의 상한(최소 상위 경계)으로 표현될 수 있다.
• 모든 볼록 조각별 애फ인 사상들의 집합은 볼록 쌍대원의 선형 스펜이 전체 조각별 애फ인 사상의 벡터 공간이 되는 볼록 쌍대원을 이룬다.
• 임의의 연속 사상 $F: X \to Y$와 컴팩트 부분집합 $Q \subset X$에 대해, 모든 $x \in Q$에 대해 $\|F(x) - P(x)\|_Y < \epsilon$를 만족하는 조각별 애फ인 사상 $P$가 존재한다. 이는 국소 볼록 위상에서의 조밀성을 증명한다.
• 조각별 선형 사상은 $P(x) = \inf_i \sup_j L_{ij}(x)$ 또는 $P(x) = \sup_j \inf_i L_{ij}(x)$로 표현되며, 여기서 $L_{ij}$는 선형 사상이다. 이러한 사상들은 양의 동차 연속 사상들의 공간 내 조밀한 부분공간을 이룬다.