[논문 리뷰] Geometrical and measure-theoretic structures of maps with mostly expanding center

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 39인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 대부분 중심 방향이 확장되는 $C^{1+α}$ 부분적으로 쌍곡형인 미분동형사상에 대해 기하적·조합적 구조인 '스켈레톤(skeleton)'을 정의하며, 이는 물리적 측도의 수, 기저역, 지지집합을 결정한다. 이는 히올더 연속 관측량에 대해 지수적 감쇠를 보임을 증명하고, 이웃 영역 내 $C^1$ 잔여집합에서 유한 개의 물리적 측도가 존재하며, 각각이 전체 리만 볼륨 기저를 가짐을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we study physical measures for $\C^{1+α}$ partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center. We show that every diffeomorphism with mostly expanding center direction exhibits a geometrical-combinatorial structure, which we call skeleton, that determines the number, basins and supports of the physical measures. Furthermore, the skeleton allows us to describe how physical measures bifurcate as the diffeomorphism changes under $C^1$ topology. Moreover, for each diffeomorphism with mostly expanding center, there exists a $C^1$ neighborhood, such that diffeomorphism among a $C^1$ residual subset of this neighborhood admits finitely many physical measures, whose basins have full volume. We also show that the physical measures for diffeomorphisms with mostly expanding center satisfy exponentially decay of correlation for any Hölder observes.

연구 동기 및 목표

• 다수의 중심 방향이 확장되는 $C^{1+α}$ 부분적으로 쌍곡형인 미분동형사상에 대한 물리적 측도의 기하학적 및 측도론적 구조를 이해하는 것.
• 새로운 기하적·조합적 대상인 '스켈레톤'을 통해 물리적 측도의 수, 기저역, 지지집합을 특성화하는 것.
• 스켈레톤을 통해 $C^1$ 섭동 하에서 물리적 측도의 분기 현상을 분석하는 것.
• 이러한 시스템에 대해 지수적 감쇠를 포함한 강력한 통계적 성질을 확립하는 것.
• 이웃 영역 내 $C^1$ 잔여집합에서 유한 개의 물리적 측도가 존재하며, 각각이 전체 체적 기저를 가짐을 증명하는 것.

제안 방법

• 물리적 측도의 역학을 코딩하는 유한하고 불변이며 조합적인 구조인 '스켈레톤'을 도입한다.
• 시스템의 통계적 성질을 분석하기 위해 깁스-마르코프-영 구조를 사용한다.
• 비균일 확장을 중심-불안정 방향에서 제어하기 위해 비균일 확장(비균일성 없는 확장, b-NUE) 개념을 적용한다.
• 불안정 플라크 위의 체적 추정을 통해 초월 시간의 尾행동을 유계화하며, 특히 $\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_b > n) = O(e^{-cn})$ 를 얻는다.
• 결과 [5] 및 [23]을 적용하여 尾행동 추정에서 지수적 감쇠를 도출한다.
• 불안정 분할의 절대연속성을 활용하여 플라크에서의 체적 추정을 국소 불안정 다각면으로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 중심 방향이 확장되는 미분동형사상에 대해 물리적 측도의 수, 기저역, 지지집합을 체계적으로 결정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 스켈레톤은 물리적 측도와 그 $C^1$ 섭동 하에서의 분기 현상을 어떻게 조직하는가?
• RQ3 이러한 시스템의 물리적 측도는 지수적 감쇠와 같은 강력한 통계적 성질을 보이는가?
• RQ4 잔여 $C^1$ 부분집합에서 전체 리만 볼륨 기저를 가진 유한 개의 물리적 측도가 존재함을 보장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 시스템에서 히올더 연속 관측량에 대해 상관관계 감쇠 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 스켈레톤은 다수의 중심 방향이 확장되는 $C^{1+α}$ 미분동형사상에 대해 물리적 측도의 수, 기저역, 지지집합을 유일하게 결정한다.
• 모든 이러한 미분동형사상에 대해, 유한 개의 물리적 측도가 존재하며, 각각이 전체 볼륨 기저를 가진다.
• 이러한 시스템의 물리적 측도는 지수적 감쇠를 보이며, $C_\mu(\phi, \psi \circ f^n) = O(e^{-dn})$ 를 만족한다. 여기서 $\phi$ 는 히올더 연속이고 $\psi \in L^\infty$ 이다.
• 감쇠 속도는 초월 시간의 尾행동과 관련이 있으며, $\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_{b_0} > n) = O(e^{-\delta' n})$ 이며, 이는 파워 법 감쇠 추정에서 $\tau = 1$ 이 됨을 의미한다.
• 체적 측도는 중심 리아프누프 지수의 비영인 $C^2$, 접근 가능한, 체적을 보존하는 미분동형사상에서 버나울리이다.
• 물리적 측도는 불안정 다각면의 양의 체적 부분집합의 반복 이미지 체적 평균의 약한* 수렴으로 얻어진다.