[논문 리뷰] Geometrical aspects of contact mechanical systems and field theories

Xavier Rivas Guijarro|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 25.

Dynamics and Control of Mechanical Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 비가역 기계 및 장 이론에 대한 기하적 프레임워크를 접촉 구조와 k-접촉 구조를 사용하여 개발한다. 이는 보존 시스템에 대한 심플렉틱 및 k-심플렉틱 형식의 일반화이다. k-접촉 시스템에 대한 Skinner–Rusk 형식을 도입하고, 오일러–라그랑주 및 하미لت로니안 방정식을 유도하며, 감쇠된 조화 진동자와 감쇠된 전자기파와 같은 예시에 이론을 적용하여 기계 이론과 장 이론에서의 에너지 손실을 일관되게 기하학적으로 기술한다.

ABSTRACT

Many important theories in modern physics can be stated using differential geometry. Symplectic geometry is the natural framework to deal with autonomous Hamiltonian mechanics. This admits several generalizations for nonautonomous systems, both regular and singular. Some of these extensions are the subject of this thesis. Recently there has been a growing interest in studying dissipative mechanical systems from a geometric perspective using contact geometry. In this thesis we review what has been done in this topic and go deeper, studying symmetries and dissipated quantities of contact systems, and developing the Skinner-Rusk formalism for these systems. With regard to classical field theory, we introduce the notion of k-precosymplectic manifold and use it to give a geometric description of singular nonautonomous field theories. We also devise a constraint algorithm for these systems. Field theories with damping are described through a modification of the De Donder-Weyl Hamiltonian field theory. This is achieved by combining contact geometry and k-symplectic structures, resulting in the k-contact formalism. We introduce two notions of dissipation laws, generalizing the concept of dissipated quantity. These developments are also applied to Lagrangian field theory. The Skinner-Rusk formulation for k-contact systems is described in detail and we show how to recover the Lagrangian and Hamiltonian formalisms from it. Throughout the thesis we present several examples in mechanics and field theory. The most remarkable mechanical examples are the damped harmonic oscillator, the motion in a gravitational field with friction, the parachute equation and the damped simple pendulum. In field theory, we study the damped vibrating string, the Burgers' equation, the Klein-Gordon equation and its relation with the telegrapher's equation, and the Maxwell's equations with dissipation.

연구 동기 및 목표

• 보존 시스템에 대한 기하역학을 비보존 시스템으로 확장하기 위해 접촉 기하학을 사용하여 비가역 시스템에 대한 통합된 기하 형식의 부족을 해결한다.
• 비보존적 상황에서 라그랑주 및 하미льт로니안 기술을 통합하는 접촉 기하학을 사용하여 Skinner–Rusk 형식을 k-접촉 시스템으로 일반화한다.
• 비자기적 비자기적 장 이론에 대한 k-precosymplectic 제약 알고리즘을 개발한다.
• 접촉 기하학과 k-심플렉틱 구조를 결합한 k-접촉 형식을 도입하여 비가역 장 이론을 모델링한다.
• 접촉 및 k-접촉 시스템에서의 에너지 손실 법칙과 대칭성을 정의하고 분석하며, 보존 양을 비가역 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 비가역 기계 시스템을 모델링하기 위해 접촉 다양체와 k-접촉 구조를 사용하여 보존 시스템에 대한 심플렉틱 기하학을 일반화한다.
• 확장된 폰트리아진 배럴 위에서 전접촉 표준 구조를 갖춘 Skinner–Rusk 형식을 적용하여 운동 방정식을 도출한다.
• 비자기적 비자기적 장 이론에 대한 기하적 프레임워크로 k-precosymplectic 기하학을 도입한다.
• 감쇠가 있는 비자기적 장 이론을 다룰 수 있도록 k-precosymplectic 시스템에 대한 제약 알고리즘을 개발한다.
• De Donder–Weyl 이론과 접촉 기하학을 결합하여 장 이론에 대한 k-접촉 형식을 구성한다.
• 보존 양의 개념을 비가역 시스템으로 일반화하기 위해 두 가지 새로운 에너지 손실 법칙의 개념을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접촉 기하학은 대칭성과 보존/손실되는 양을 갖는 비가역 기계 시스템을 체계적으로 모델링하기 위해 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ2 k-접촉 시스템에 대한 Skinner–Rusk 형식의 올바른 기하적 기술은 무엇이며, 이는 어떻게 라그랑주 및 하미لت로니안 형식을 모두 복원하는가?
• RQ3 k-precosymplectic 구조는 감쇠가 있는 비자기적 비자기적 장 이론을 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ4 k-접촉 시스템에서 대칭성의 역할은 무엇이며, 이는 손실되는 양과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 k-접촉 형식은 장 이론으로 확장될 수 있으며, 이는 감쇠된 파동 방정식이나 손실이 있는 맥스웰 방정식과 같은 비가역 장 방정식을 어떻게 기술하는가?

주요 결과

• k-접촉 시스템에 대한 Skinner–Rusk 형식은 라그랑주 및 하미لت로니안 형식을 성공적으로 복원하여 비가역 역학의 통합된 기하 기술을 제공한다.
• k-precosymplectic 제약 알고리즘이 개발되어 비자기적 장 이론에 적용되었으며, 애매한 선형 및 이차 라그랑주 함수를 포함하여 제약 분석이 가능해졌다.
• k-접촉 형식은 감쇠된 진동하는 줄, 버거스 방정식, 손실이 있는 맥스웰 방정식 등 장 이론에 성공적으로 적용되었으며, 에너지 손실의 일관된 기하 모델링을 보여주었다.
• 보존 양을 비가역 시스템으로 일반화하는 두 가지 새로운 에너지 손실 법칙의 개념이 도입되었으며, 이는 에너지 감소를 보이는 불변량을 식별할 수 있게 하였다.
• 학습된 예시를 통해 이론이 검증되었으며, 감쇠된 조화 진동자, 감쇠된 진자, 클라인–고든/텔레그래퍼 방정식 등이 포함되어 있어 형식의 예측 능력을 입증하였다.
• k-접촉 형식은 장 이론에서 헤르글로츠 유형의 변분 원리에 대한 기하적 기초를 제공하며, 비자기적 비가역 장 이론에 대한 다중접촉 형식으로의 확장을 시사한다.