[논문 리뷰] Geometrical properties of trapped surfaces and apparent horizons

Abbas M. Sherif, Rituparno Goswami외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Historical Geography and Cartography참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 갇힌 표면과 임계 외부 표면(MOTS)의 분석을 1+1+2 공변 형식으로 확장하여, 일반 4차원 시공간 내에서 MOTS의 기하학, 역학, 안정성에 대한 명확한 기술을 가능하게 한다. 이는 호킹의 위상 정리의 일반화이며, 옵페나이머-스나이더 붕괴에서 내부 MOTS가 안정성 연산자의 음의 고유값으로 인해 불안정하다는 것을 보여주며, 외부 MOTS는 블랙홀 형성과 일관되게 안정되어 있음을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we perform a detailed investigation on the various geometrical properties of trapped surfaces and the boundaries of trapped region in general relativity. This treatment extends earlier work on LRS II spacetimes to a general 4 dimensional spacetime manifold. Using a semi-tetrad covariant formalism, that provides a set of geometrical and matter variables, we transparently demonstrate the evolution of the trapped region and also extend Hawking's topology theorem to a wider class of spacetimes. In addition, we perform a stability analysis for the apparent horizons in this formalism, encompassing earlier works on this subject. As examples, we consider the stability of MOTS of the Schwarzschild geometry and Oppenheimer-Snyder collapse.

연구 동기 및 목표

• LRS II 시공간을 초월하여 일반 4차원 시공간으로 갇힌 표면과 임계 표면의 연구를 일반화하는 것.
• 반타래 1+1+2 공변 형식을 사용하여 기하학적 동기를 가진, 진화와 위상에 대한 투명한 기술을 제공하는 것.
• 모선 수축성의 형태가 [u,e] 평면에 대한 영역에서의 영역 제한에 대해 불변임을 증명함으로써, 호킹의 블랙홀 위상 정리를 더 넓은 시공간 클래스로 확장하는 것.
• 이 형식에서 MOTS의 체계적 안정성 분석을 수행하여 기존 결과를 복원하고 확장하는 것.
• 옵페나이머-스나이더 먼지 붕괴 모델에서 내부 MOTS의 불안정성에 물리적 설명을 제공하는 것.

제안 방법

• 시공간을 시간, 반경 방향, 수평 공간 방향으로 분해하는 반타래 1+1+2 공변 형식을 채택하여 기하학적 및 물질 변수의 공변 기술을 가능하게 한다.
• 평균 곡률 1-형식과 비틀림, 확장, 와일 텐서 성분 등의 곡률 양을 사용하여 2-표면에서의 영역 확장 스칼라의 진화 방정식을 유도한다.
• 안정성 연산자 $ L( heta) = ar{M} heta $ 를 도입하며, 여기서 $ ar{M} $ 은 곡률, 에너지-모멘텀 및 운동학적 양을 포함하는 두 번째 순서 미분 연산자이다. 이는 MOTS의 안정성을 평가하는 데 사용된다.
• 이 안정성 연산자를 구형 대칭 시공간(예: 슈바르츠실트)과 옵페나이머-스나이더 모델에 적용하여, $ ho, heta, ar{ heta}, ho, ext{and } ar{ ho} $ 를 포함하는 고유값 문제로 연산자를 단순화한다.
• 안정성 연산자의 주요 고유값 $ ar{ ho} $ 를 사용하여 안정성 판단: $ ar{ ho} > 0 $ 이면 안정, $ ar{ ho} < 0 $ 이면 불안정.
• 장의 방정식의 함수적 방정식과 그 폭발 현상을 활용하여 영역 확장 스칼라의 진화를 유도하며, 이는 MOTS의 안정성과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 4차원 시공간에서 LRS II 클래스를 초월하여 갇힌 표면과 임계 표면의 기하학적 및 역학적 성질을 체계적으로 기술하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 1+1+2 공변 형식은 임계 영역의 진화와 위상에 대한 이해를 어떻게 단순화하고 명확화하는가?
• RQ3 호킹의 블랙홀 위상 정리는 더 넓은 시공간 클래스로 확장될 수 있는가? 그리고 절단면의 위상 불변성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 다이나믹 시공간에서 임계 외부 갇힌 표면(MOTS)의 안정성은 무엇에 의해 결정되며, 이 형식은 기존 결과를 어떻게 복원하고 확장하는가?
• RQ5 옵페나이머-스나이저 붕괴에서 내부 MOTS가 불안정한 이유는 무엇이며, 이에 배경이 되는 물리적 메커니즘은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 4차원 시공간에서 영역 정규 벡터의 [u,e] 평면에 대한 제한에 대해 확장 스칼라의 형태가 불변임을 증명하며, 이는 호킹의 위상 정리의 일반화를 가능하게 한다.
• 슈바르츠실트 시공간에서 안정성 고유값 $ ar{ ho} = -\frac{2m}{r^3} $ 는 음수이며, 이는 외부 MOTS의 엄격한 안정성을 의미하며, 알려진 구형 위상과 일치한다.
• 옵페나이머-스나이저 붕괴에서 내부 MOTS의 안정성 고유값 $ ar{ ho} = -\frac{1}{3}\theta^2 < 0 $ 이며, 이는 불안정성을 나타내며, 이는 싱귤라리티 향한 계속된 내부 붕괴를 설명한다.
• 시간 대칭 극한에서 안정성 연산자는 $ L(\theta) = - (\nabla^2 - F) \theta $ 로 단순화되며, 고전적 최소 표면 안정성 연산자와 일치한다.
• 이 형식은 MOTS 안정성에 대한 기존 결과를 복원하며, 주로 에너지 조건의 지배성과 구형 대칭 진공 시공간에서의 $ \bar{\rho} $ 의 행동을 포함한다.
• 분석은 OS 모델에서 내부 MOTS가 안정성 고유값 $ \bar{\rho} $ 가 음수이기 때문에 불안정하다는 것을 보여주며, 이는 변형이 내부 갇힘을 유도함을 확인하며 중력 붕괴와 일관된다.