[논문 리뷰] Geometrical tools for embedding fields, submanifolds, and foliations

Antony J. Speranza|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 16.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 77인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 등장하는 부분다양체, 분할, 그리고 미분형식 불변 이론 내의 장을 분석하기 위한 체계적인 미분기하학적 프레임워크를 개발한다. 임bedding 필드를 사용하여 내재된 곡률과 외재된 곡률에 대한 변분 공식을 유도하고, 비통합 가능한 법선 방향을 포함한 일반화된 가우스–코다지–리치 항등식을 유도하며, 극값 표면에 대한 자코비 방정식 유도 및 일반 상대성 이론에서 경계 조건을 분류함으로써 양자 중력 이론과 효과적 장 이론에서 브라인, 유체, 가장자리 모드를 일관되게 다룰 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Embedding fields provide a way of coupling a background structure to a theory while preserving diffeomorphism-invariance. Examples of such background structures include embedded submanifolds, such as branes; boundaries of local subregions, such as the Ryu-Takayanagi surface in holography; and foliations, which appear in fluid dynamics and force-free electrodynamics. This work presents a systematic framework for computing geometric properties of these background structures in the embedding field description. An overview of the local geometric quantities associated with a foliation is given, including a review of the Gauss, Codazzi, and Ricci-Voss equations, which relate the geometry of the foliation to the ambient curvature. Generalizations of these equations for curvature in the nonintegrable normal directions are derived. Particular care is given to the question of which objects are well-defined for single submanifolds, and which depend on the structure of the foliation away from a submanifold. Variational formulas are provided for the geometric quantities, which involve contributions both from the variation of the embedding map as well as variations of the ambient metric. As an application of these variational formulas, a derivation is given of the Jacobi equation, describing perturbations of extremal area surfaces of arbitrary codimension. The embedding field formalism is also applied to the problem of classifying boundary conditions for general relativity in a finite subregion that lead to integrable Hamiltonians. The framework developed in this paper will provide a useful set of tools for future analyses of brane dynamics, fluid mechanics, and edge modes for finite subregions of diffeomorphism-invariant theories.

연구 동기 및 목표

• 미분형식 불변 장 이론 내에서 임베딩된 부분다양체, 분할, 배경 구조를 분석하기 위한 체계적인 기하학적 프레임워크를 제공하는 것.
• 단일 부분다양체에만 의존하는 기하학적 양들과 전체 분할 구조가 필요한 양들을 명확히 하는 것.
• 임베딩 사상과 배경 메트릭의 변형을 모두 고려한 내재 및 외재 곡률에 대한 변분 공식을 도출하는 것.
• 임베딩 필드 형식 내에서 임의의 코드미너션을 갖는 극값 면적 표면의 변형에 대해 자코비 방정식을 도출하는 것.
• 일반 상대성 이론의 유한한 부분영역에서 적분 가능한 해밀토니안을 유도하는 경계 조건을 분류하고, 가장자리 모드와 엔트로피 양자화와의 관련성을 밝히는 것.

제안 방법

• 일반 좌표변환 불변성을 유지하면서 배경 구조(예: 브라인, 경계, 분할)를 미분형식 불변 이론에 연결하기 위해 임베딩 필드 X: M₀ → M 를 사용한다.
• 임베딩 데이터와 배경 시공간 기하학을 기반으로 내재 및 법선 접속, 외재 곡률, 곡률 텐서(Gauss, Codazzi, Ricci-Voss)의 좌표 표현을 유도한다.
• 비통합 가능한 법선 방향의 곡률 기여를 위해 휘어진 텐서(twist tensor)와 수정된 외부 곡률을 포함하여 가우스–코다지–리치 방정식을 일반화한다.
• 임베딩 사상과 배경 메트릭을 동시에 변형함으로써 기하학적 양의 변분 공식을 유도하며, 리 도함수와 접속의 변형을 포함한 표현식을 도출한다.
• 면적 함수의 변형에 따라 임베딩의 변형에 대한 면적 기능의 2차 변분을 통해 극값 표면에 대한 자코비 방정식을 계산한다.
• 이 형식을 사용하여 중력 해밀토니안의 경계항을 분석하고, 해밀토니안이 적분 가능하고 잘 정의되도록 하기 위한 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분다양체와 관련된 어떤 기하학적 양이 전체 분할 구조에 의존하지 않고도 잘 정의되는가?
• RQ2 법선 번들의 비통합 가능성(즉, 비영인 비틀림)이 존재할 경우 기존의 가우스–코다지–리치 항등식은 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 임베딩 사상과 배경 메트릭을 동시에 변형할 때 내재 및 외재 곡률에 대한 정확한 변분 공식은 무엇인가?
• RQ4 임베딩 필드 형식 내에서 임의의 코드미너션을 갖는 극값 면적 표면에 대한 자코비 방정식은 어떻게 도출되는가?
• RQ5 시공간의 유한한 부분영역에서 일반 상대성 이론에서 적분 가능한 해밀토니안을 유도하는 경계 조건는 무엇이며, 가장자리 모드와 엔트로피 양자화와의 관련성은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 비통합 가능한 법선 방향의 곡률 기여를 포함하는 일반화된 가우스–코다지–리치 항등식을 유도하며, 명시적으로 비틀림 텐서 Fᵢⱼₖ 를 포함한다.
• 내재 곡률 성분이 Rᵢⱼₖₗ = ∂ₖγᵢⱼₗ − ∂ₗγᵢⱼₖ + γᵢₖₘγᵐⱼₗ − γᵢₗₘγᵐⱯₖ 로 주어지며, 접선 번들의 표준 리만 곡률과 일치함을 보여준다.
• 법선 곡률 텐서는 CAᵦCD = ∂*CΓᴬDB − ∂*DΓᴬCB + ΓᴬCEΓᴱDB − ΓᴬDEΓᴱCB − FⁱCDLᴬⁱB 로 유도되며, FⁱCD 는 비틀림 텐서이고 LᴬⁱB 는 수정된 접속이다.
• 임베딩과 메트릭의 변형에 따른 면적 기능의 2차 변분을 통해 임의의 코드미너션을 갖는 극값 면적 표면에 대한 자코비 방정식이 변분 결과로서 도출됨을 보였다.
• 이 프레임워크는 중력 해밀토니안의 경계항이 임베딩과 메트릭의 변형이 특정 조건을 만족할 때에만 적분 가능하며, 이는 가장자리 모드의 존재와 관련됨을 규명하였다.
• 내재 접속 계수, 외재 곡률, 이동 벡터, 비틀림을 포함한 좌표 표현을 통해 시공간 크리스톼프 기호의 완전한 유도를 제공하여, 완전한 계산 도구를 제공한다.