[논문 리뷰] Geometries with intransitive equivalence relation

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|2008. 07. 13.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 세계 함수 σ(거리의 제곱의 반)를 기본 기하 원소로 사용하여 변형된, 비대칭적인 등식 관계를 기반으로 한 물리 기하학을 제안한다. 전통적인 공리 기반 기하학과는 달리, 이 접근법은 좌표계나 선형 벡터 공간에 의존하지 않고, 유한한 나누기 가능성과 함께 이질적이고 결정적인 공간-시간을 기술할 수 있다. 이는 기본 입자 성질을 설명하는 데 핵심적이다.

ABSTRACT

One considers geometry with the intransitive equaivalence relation. Such a geometry is a physical geometry, i.e. it is described completely by the world function, which is a half of the squared distance function. The physical geometry cannot be axiomatized, in general. It is obtained as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. Class of physical geometries is more powerful, than the class of axiomatized geometries. The physical geometry admits one to describe such geometric properties as discreteness, granularity and limited divisibility. These properties are important in application to the space-time. They admits one to explain the discrimination properties of the space-time, which generate discrete parameters of elementary particles. Mathematical formalism of a physical geometry is very simple. The physical geometry is formulated in geometrical terms (in terms of points and world function) without a use of means of description (coordinate system, space dimension, manifold, etc.).

연구 동기 및 목표

• 연속적이고 공리 기반의 기하학과 충돌하는 이질적이고 결정적인 공간-시간 성질을 기술할 수 있는 기하 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존의 공리 기반 기하학을 세계 함수 σ를 기반으로 한 변형 기반 방법으로 대체하여, 표준 공리화에 적합하지 않은 물리 기하학을 가능하게 하는 것.
• 비대칭 등식에서 비롯된 다중가치성과 기하학적 결정성에 기반해 기본 입자에 나타나는 이산적 매개변수의 기원을 설명하는 것.
• 미분 방정식을 사용하지 않고 오직 세계 함수에 의존하는 유한 차분 역학을 지원하는 기하학적 기초를 제공하여 역학을 기하학적으로 기술하는 것.
• 세계 체인을 통한 질량과 입자 조성의 기하학적 기초를 제공함으로써 물리 기하학을 상대성 이론과 양자 구조의 원리와 통합하는 것.

제안 방법

• 세계 함수 σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q)를 유일한 기하 기초로 사용하여, 적절한 유클리드 기하학의 변형을 통해 물리 기하학을 구성하는 것.
• 좌표계, 다양체 또는 벡터 공간을 사용하지 않고, σ를 전적으로 사용하여 기하 객체와 관계(예: 선분, 각도, 등식)를 정의하는 것.
• 점들 사이에 비대칭 등식 관계를 도입하여, P ~ Q 이고 Q ~ R 이어도 P ~ R 가 성립하지 않는 경우를 고려함으로써 다중가치성과 기하학적 결정성을 유도하는 것.
• 복합 입자를 세계 체인—고정된 σ-길이의 연결선으로 이어진 점들의 순서열—으로 모델링하며, 질량은 링크 길이에 의해 기하학적으로 결정됨을 보여주는 것.
• 유한 차분 방정식을 σ 기반으로 사용하여 기하학에서 역학을 유도함으로써, 곡률이 있는 기하학에서 자유 입자의 운동이 민코프스키 공간에서의 필드 내 운동과 동치임을 보여주는 것.
• 일반적으로 물리 기하학은 공리화가 불가능하지만, σ에 의해 완전히 결정되며, 사영 기하학이나 애파인 기하학과 같은 수학적 기하학과 구별됨을 밝혀내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 세계 함수 σ만을 사용하여 공리 체계에 의존하지 않는 물리 기하학을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 관계에서의 비대칭 등식이 이질적이고 결정적인 공간-시간 성질을 어떻게 유도하는가?
• RQ3 다중가치성이 어떻게 제한된 나누기 가능성과 기본 입자의 이질적 매개변수를 생성하는가?
• RQ4 외부 필드나 양자 형식론을 도입하지 않고도 복합 입자의 역학을 세계 함수의 기하학적 성질로 완전히 기술할 수 있는가?
• RQ5 세계 함수 σ를 통한 유클리드 기하학의 변형이 일반 상대성 이론과 양자적 특성을 포함하는 일관된 물리 기하학으로 이어지는가?

주요 결과

• 세계 함수 σ를 기반으로 한 물리 기하학은 일반적으로 공리화가 불가능하며, 이는 전통적 기하학과의 차이를 이루며 이질적이고 결정적인 공간-시간 기술을 가능하게 한다.
• 비대칭 등식 관계는 다중가치성을 유도하며, 이는 공간-시간의 결정성과 제한된 나누기 가능성의 기하학적 근원이 된다.
• 기본 입자의 질량과 구조는 세계 체인의 링크 길이로 기하학적으로 정의될 수 있으며, 이는 파동 함수나 양자 연산자를 도입할 필요 없이 가능하다.
• 자유 복합 입자의 역학은 σ 기반의 유한 차분 방정식으로 기술되며, 특정 극한 조건에서만 미분 방정식으로 축소됨을 보여준다.
• 민코프스키 공간의 기하학은 곡률이 있는 공간-시간에서의 역학을 기술하는 데 사용될 수 있지만, 이는 자유 운동이 아니라 효과적 필드 내 운동에 해당한다.
• σ를 통한 변형 방법을 통해 공리의 일관성 검증이나 정리의 증명 없이도 물리 기하학을 구성할 수 있으며, 이는 유클리드 방법의 한계를 우회한다.