[논문 리뷰] Geometry and intersection theory on Hilbert schemes of families of nodal curves

Ziv Ran|ArXiv.org|2008. 03. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상대 호지 스킴의 노드 곡선에 대한 상대 대칭곱으로의 사이클 지ap을 통해 상대 호지 스킴의 폭발 구조를 규명하며, 다중점의 판별자 집합이 해소됨을 증명한다. 플래그 호지 스킴과 분할 원리에 기반한 타우토로지컬 번들의 체르니 클래스에 대한 재귀적 교차 계산법을 개발하여, 타우토로지컬 클래스와 경계 스트라타 데이터를 통해 삼등각선 수와 같은 추상 기하학적 불변량의 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension, via its (birational) cycle map, going to the relative symmetric product. We show the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We work out the action of the blowup or 'discriminant' polarization on some natural cycles in the Hilbert scheme, including generalized diagonals and cycles, called 'node scrolls', parametrizing schemes supported on singular points. We derive an intersection calculus for Chern classes of tautological vector bundles, which are closely related to enumerative geometry.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 미해결 상태였던 상대 호지 스킴의 노드 곡선에 대한 타우토로지컬 번들의 체르니 수를 계산하는 문제를 해결하기 위해.
• 호지 스킴의 타우토로지컬 번들의 임의의 다항식에 대한 체르니 클래스에 대한 체계적 교차 계산법을 개발하기 위해.
• 상대 호지 스킴에서 상대 대칭곱으로의 사이클 지압이 판별자 집합에 대한 폭발임을 확립하기 위해.
• 추상 기하학적 불변량의 계산을 기저의 경계 스트라타에서 무우드의 타우토로지컬 클래스로 환원하기 위해.
• 플래그 호지 스킴과 타우토로지컬 번들에 대한 분할 원리를 활용한 재귀적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 사이클 지압 $\mathfrak{c}_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B $ 이 판별자 집합 $D^m$ 에서의 폭발임을 증명하며, $\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$ 는 예외적 배치로 나타남.
• 분할 원리(보조정리 3.5)를 사용하여 $X^{[m,m-1]}_B $ 상에서 총 체르니 클래스 $c(\Lambda_m(E))$ 를 $c(\Lambda_{m-1}(E))$ 와 $\Gamma^{(m)}$ 를 포함한 판별 인자의 곱으로 표현함.
• 타우토로지컬 모듈 $T^m$ 을 대각선 위치와 노드 스크롤/섹션의 덧셈적 스트럭처로 정의하며, 플래그 호지 스킴에 의해 재귀적으로 생성함.
• 전이 정리(정리 3.3)를 적용하여 $W^m$ 을 통해 $X^{[m-1]}_B $ 에서의 체르니 클래스 다항식을 $X^{[m]}_B $ 로 이행함.
• 투영 공식과 모듈 정리(2.1)를 사용하여 타우토로지컬 모듈이 투영과 곱셈에 대해 닫혀 있음을 보장함.
• 특정 불변량, 예를 들어 삼등각선 수를 $W^m \times G$ 상의 적분을 통해 계산하며, 그 결과는 그라스만만의 타우토로지컬 번들 체르니 클래스와의 곱으로 환원됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 호지 스킴에서 상대 대칭곱으로의 사이클 지압은 판별자 집합에 대한 폭발과 동형인가?
• RQ2 노드 곡선의 호지 스킴에서 타우토로지컬 번들의 체르니 클래스에 대한 재귀적 교차 계산법을 개발할 수 있는가?
• RQ3 삼등각선 수와 같은 추상 기하학적 불변량은 기저의 경계 스트라타에서 타우토로지컬 클래스로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 판별자 배치 $\Gamma^{(m)}$ 는 대칭곱을 초월해 호지 스킴의 기하학을 어떻게 캐릭터라이즈하는가?
• RQ5 타우토로지컬 모듈 $T^m$ 이 $X^{[m]}_B $ 상의 모든 관련 교차 이론적 정보를 포괄하는가?

주요 결과

• 사이클 지압 $\mathfrak{c}_m$ 는 상대 대칭곱을 판별자 집합 $D^m$ 에서 폭발한 것으로, $\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$ 이며, $-\Gamma^{(m)}$ 는 폭발의 자연스러운 $\mathcal{O}(1)$ 극화로 나타남.
• 분할 원리(보조정리 3.5)는 $X^{[m,m-1]}_B $ 상에서 $c(\Lambda_m(E))$ 를 $c(\Lambda_{m-1}(E)) \cdot \text{판별 인자}$ 로 표현하며, 이는 재귀적 계산을 가능하게 함.
• 타우토로지컬 모듈 $T^m$ 은 상대 대각선 위치와 노드 스크롤/섹션의 덧셈적 생성으로 이루어지며, 플래그 호지 스킴에 의한 전이 사상에 대해 닫혀 있음.
• 만일 $\mathbb{P}^3$ 에서의 매끄러운 곡선이라면, 가상의 삼등각선 수는 $\frac{1}{6}(2d^3 - 12d^2 + 16d - 3d(2g-2) + 6(2g-2))$ 로 주어지며, 이는 계산법에 의해 계산 가능함.
• 일반적인 차수 $d$ 의 분할 를 $\mathbb{P}^{2m-1}$ 에서 고려할 경우, $(m-2)$-등각 평면을 가진 곡선의 수 $N_m$ 은 $W^m \times G$ 상의 적분을 통해 계산되며, $\Gamma^{(m)}$ 과 체르니 클래스의 특정 단항식 기여로 환원됨.
• 이 계산법은 모든 불변량을 $b = L^2$, $d = \deg_\pi(L)$, $\omega^2$, $\sigma$, $\omega \cdot L$, 및 $\deg_\pi(\omega) = 2g-2$ 의 특성으로 환원하며, $d$ 에 대해 재귀적으로 계산 가능함.