[논문 리뷰] Geometry and moduli of polarised varieties

Caucher Birkar|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 약간의 특이성 조건과 준효과성 조건 하에서 페어라이즈된 프로젝티브 다양체 위의 네프이자 비어 있는 위일 다발을 가진 선형 계열에 대해 비라시오널 유계성을 확립한다. $d$ 차원의 $\epsilon$-lc 특이성을 지닌 다양체 $X$와 네프이자 비어 있는 위일 다발 $N$이 존재하고 $N - K_X$ 가 준효과적일 경우, 선형 계열 $|mN|$ 이 어떤 $m$ 에 대해 비라시오널 사상으로 정의되며, 이 $m$ 은 오직 $d$ 와 $\epsilon$ 에만 의존한다. 이는 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍의 유계성과 프로젝티브 계수 모듈리 공간의 존재를 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the geometry of projective varieties polarised by ample and more generally nef and big Weil divisors. First we study birational boundedness of linear systems. We show that if $X$ is a projective variety of dimension $d$ with $\epsilon$-lc singularities for $\epsilon>0$, and if $N$ is a nef and big Weil divisor on $X$ such that $N-K_X$ is pseudo-effective, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d,\epsilon$. This is key to proving various other results. For example, it implies that if $N$ is a big Weil divisor (not necessarily nef) on a klt Calabi-Yau variety of dimension $d$, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d$. It also gives new proofs of some known results, for example, if $X$ is an $\epsilon$-lc Fano variety of dimension $d$ then taking $N=-K_X$ we recover birationality of $|-mK_X|$ for bounded $m$. We prove similar birational boundedness results for nef and big Weil divisors $N$ on projective klt varieties $X$ when both $K_X$ and $N-K_X$ are pseudo-effective (here $X$ is not assumed $\epsilon$-lc). Using the above we show boundedness of polarised varieties under some natural conditions. We extend these to boundedness of semi-log canonical Calabi-Yau pairs polarised by effective ample Weil divisors not containing lc centres. Combining this with the moduli theory of stable pairs we show that polarised Calabi-Yau pairs and polarised Fano pairs admit projective coarse moduli spaces.

연구 동기 및 목표

• 약간의 특이성 조건 하에서 네프이자 비어 있는 위일 다발을 가진 페어라이즈된 다양체 위의 선형 계열에 대한 비라시오널 유계성을 확립하기 위해.
• 기존의 반표준 계열의 비라시오널성 결과를 일반적인 풍부하고 비어 있는 위일 다발로 확장하기 위해.
• 자연적인 기하 조건 하에서 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍의 유계성을 증명하기 위해.
• 안정 쌍의 모듈리 이론을 사용하여 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍에 대한 프로젝티브 계수 모듈리 공간을 구성하기 위해.
• 최소한의 특이성 중심을 포함하지 않는 효과적이고 풍부한 위일 다발로 페어라이즈된 반-로그 칼라비-야우 쌍으로 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 차원 $d$ 의 프로젝티브 다양체 위에서 선형 계열을 제어하기 위해 $\epsilon$-lc 특이성과 $N - K_X$ 의 준효과성 조건을 사용하기 위해.
• 네프이자 비어 있는 위일 다발을 통한 선형 계열의 유계성 결과를 응용하여, $m$ 이 오직 $d$ 와 $\epsilon$ 에만 의존하는 $|mN|$ 의 비라시오널성 도출하기 위해.
• klt 칼라비-야우 및 파노 다양체의 구조를 활용하여, 네프가 아닐지라도 큰 위일 다발으로 비라시오널 유계성을 확장하기 위해.
• 안정 쌍과 모듈리 공간 이론을 적용하여 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍에 대한 프로젝티브 계수 모듈리 공간 존재성을 보여주기 위해.
• 페어라이징 다발이 최소한의 특이성 중심을 포함하지 않는 조건을 사용하여 결과를 반-로그 칼라비-야우 쌍으로 확장하기 위해.
• 유계성 결과와 모듈리 이론을 결합하여, 효과적 풍부성과 준효과성 제약 조건 하에서 프로젝티브 계수 모듈리 공간 존재성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원과 특이성 유형에만 의존하는 어떤 $m$ 에 대해, 네프이자 비어 있는 위일 다발 $N$ 을 가진 프로젝티브 다양체 $X$ 위의 선형 계열 $|mN|$ 이 비라시오널 사상으로 정의되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 klt 칼라비-야우 다양체 위에서 반표준 계열의 비라시오널성 결과를 일반적인 큰 위일 다발로 확장할 수 있는가?
• RQ3 효과적 풍부성과 준효과성 조건 하에서 페어라이즈된 칼라비-야우 쌍의 유계성에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 모듈리 이론은 어떻게 적용되어 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍에 대한 프로젝티브 계수 모듈리 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ5 비라시오널 유계성 결과는 효과적 풍부한 위일 다발이 최소한의 특이성 중심을 포함하지 않는 반-로그 칼라비-야우 쌍으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 차원 $d$ 와 $\epsilon$-lc 특이성을 지닌 프로젝티브 다양체 $X$ 와 네프이자 비어 있는 위일 다발 $N$ 이 존재하고 $N - K_X$ 가 준효과적일 경우, 선형 계열 $|mN|$ 이 어떤 $m$ 에 대해 비라시오널 사상으로 정의되며, 이 $m$ 은 오직 $d$ 와 $\epsilon$ 에만 의존한다.
• 차원 $d$ 의 klt 칼라비-야우 다양체에서, 어떤 큰 위일 다발 $N$ 이라도 $|mN|$ 이 어떤 $m$ 에 대해 비라시오널 사상으로 정의되며, 이 $m$ 은 오직 $d$ 에만 의존한다.
• 이 결과는 $\epsilon$-lc 파노 다양체에서 $|-mK_X|$ 의 알려진 비라시오널성 결과를 복원하며, 일반적 프레임워크를 통한 새로운 증명을 제공한다.
• klt 다양체에서 네프이자 비어 있는 위일 다발 $N$ 이 존재하고 $K_X$ 와 $N - K_X$ 가 모두 준효과적일 경우, $\epsilon$-lc 특이성 조건을 가정하지 않더라도 비라시오널 유계성이 성립한다.
• 페어라이징 다발이 풍부하고 최소한의 특이성 중심을 포함하지 않는 조건 하에서, 페어라이즈된 칼라비-야우 쌍의 유계성이 확립된다.
• 안정 쌍의 모듈리 이론을 사용하여, 페어라이즈된 칼라비-야우 및 파노 쌍이 프로젝티브 계수 모듈리 공간을 가짐을 증명한다.