[논문 리뷰] Geometry of canonical bases and mirror symmetry

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 62인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 장식된 표면과 G-국소계의 모듈리 공간 위의 양의 구조를 통해 표현 이론의 표준 기저와 미러 대칭을 연결하는 기하적 프레임워크를 수립한다. 모듈리 공간 A_{G,S} 위에 정의된 잠재함수 W를 도입하며, 그 토프로피컬라이제이션은 컨볼루션 사상의 섬유의 최고차원 성분을 매개변수화하고, Langlands 쌍대군 G^L의 텐서곱 불변량에 대한 표준 기저를 제공한다. 이는 Kamnitzer의 하이브 모델을 일반화하고 Mirković-Vilonen 사이클을 혼합 플래그 구성으로 확장한다.

ABSTRACT

A decorated surface S is a surface with a finite set of special points on the boundary, considered modulo isotopy. Let G be a split reductive group. A pair (G, S) gives rise to a moduli space A(G, S), closely related to the space of G-local systems on S. It has a positive structure. So the set of its integral tropical points is defined. We introduce a rational positive function W on A(G, S), the potential. The condition that its tropicalisation is non-negative determines its subset. For SL(2), we recover the set of integral laminations on S. We prove that when S is a disc with n special points on the boundary, this set parametrises top dimensional components of the convolution varieties. Thus, via geometric Satake correspondence, they provide a canonical basis in tensor product invariants of irreducible modules for the Langlands dual group. When G=GL(m), n=3, there is a special coordinate system on A(G,S). We show that it identifies our set with the set of with Knutson-Tao's hives. Our result generalises a theorem of Kamnitzer, who used hives to parametrise top components of convolution varieties for GL(m), n=3. For n>3, we prove Kamnitzer's conjecture. We define canonical bases in tensor products, generalizing the Mirkovic-Vilonen basis in a single representation. We prove that for any S, the set of positive integral tropical points of A(G, S) parametrise top components in a new space, surface affine Grasmannian. We view W as a potential for Landau-Ginzburg model on A(G,S). We conjecture that the pair (A(G,S), W) is the mirror dual to the moduli space of local systems on S for the Langlands dual group. In a special case, we recover Givental's description of the quantum cohomology connection for flag varieties.

연구 동기 및 목표

• Langlands 쌍대군의 텐서곱 불변량과 장식된 표면 위의 G-국소계 모듈리 공간 사이의 기하적 대응을 수립하는 것.
• Mirković-Vilonen 기저와 그 매개변수화를 혼합 플래그 구성과 더 높은 n-튜플 표현으로 일반화하는 것.
• 잠재함수 W가 있는 양의 모듈리 공간의 토프로피컬 정수 점을 사용하여 V_{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V_{λₙ}^{G^L}에 표준 기저를 정의하는 것.
• 공간 (A_{G,S}, W)과 S 위의 G^L-국소계 모듈리 공간 사이의 Landau-Ginzburg 미러 대칭 dualities를 제안하는 것.

제안 방법

• 장식된 표면 S 위의 G-국소계 모듈리 공간 A_{G,S}에 양의 구조를 도입하여 정수 토프로피컬 점 A_{G,S}(Z^t)의 정의를 가능하게 한다.
• A_{G,S} 위의 유리 함수 W를 정의하며, 그 토프로피컬라이제이션 W^t: A_{G,S}(Z^t) → Z이며, W^t ≥ 0인 부분집합 A^+_{G,S}(Z^t)를 정의한다.
• 기하학적 Satake 대응을 사용하여 컨볼루션 사상의 섬유의 최고차원 성분을 A^+_{G,S}(Z^t)로 식별함으로써, 텐서곱 불변량의 표준 기저를 매개변수화한다.
• GL_m 및 n=3인 경우, A^+_{GL_m,S}(Z^t)가 Knutson-Tao 하이브와의 밀도를 가지며, n>3에 대해 Kamnitzer의 추측을 증명한다.
• 혼합 구성의 플래그와 양의 구조를 사용하여 일반화된 Mirković-Vilonen 사이클을 S_e^λ ∩ S_w^μ의 성분으로 구성하며, 이는 토프로피컬 점에 의해 매개변수화된다.
• S 위의 G^L-국소계 모듈리 공간 Loc_{G^L,S}을 새롭게 정의하며, A^+_{G,S}(Z^t)가 Loc_{G^L,S} 위의 정칙 함수 공간에서 표준 기저를 매개변수화함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G^L의 기약 표현의 텐서곱 불변량에 대한 표준 기저를 G-국소계 모듈리 공간을 통해 어떻게 기하학적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ2 A_{G,S} 위의 잠재함수 W의 역할은 무엇이며, 그 토프로피컬라이제이션이 표현 이론에서 정수성과 양의성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 A^+_{G,S}(Z^t)를 통한 표준 기저의 매개변수화가 어떻게 Kamnitzer의 하이브 모델을 일반화하고 n>3로 확장되는가?
• RQ4 혼합 구성의 플래그와 양의 구조를 사용하여 일반화된 Mirković-Vilonen 사이클을 구성하고 매개변수화할 수 있는가?
• RQ5 공간 (A_{G,S}, W)과 G^L-국소계 모듈리 공간 Loc_{G^L,S} 사이에 미러 대칭 dualities가 존재하는가?

주요 결과

• G=SL₂인 경우, A^+_{G,S}(Z^t)는 [FG1]에서의 양의 정수 A-라미네이션 집합을 복원하며, 표면 위상수학과의 기하적 연결을 확립한다.
• G=GL_m 및 n=3인 경우, A^+_{GL_m,S}(Z^t)는 Knutson-Tao 하이브와의 밀도를 가지며, n>3에 대해 Kamnitzer의 추측을 증명한다.
• A^+_{G,S}(Z^t)를 통한 표준 기저의 매개변수화는 순환적으로 불변이며, Berenstein-Zelevinsky의 원래 매개변수화에서의 애매함을 해결한다.
• 일반화된 Mirković-Vilonen 사이클은 A^+_{G,S}(Z^t)에 의해 매개변수화되며, 그 구성은 표준 사상 κ를 통해 명시적 매개변수화를 피한다.
• A_{G,S} 위의 잠재함수 W는 Landau-Ginzburg 슈퍼포텐셜로 제안되며, (A_{G,S}, W)는 Loc_{G^L,S}와 미러 대칭 쌍대성을 갖는 것으로 추측된다.
• 이 구성은 Loc_{G^L,S} 위의 정칙 함수 공간에서 표준 기저를 생성하며, 기저 원소는 A^+_{G,S}(Z^t)에 의해 인덱싱된다.