[논문 리뷰] Geometry of cohomology support loci II: integrability of Hitchin's map

Donu Arapura|ArXiv.org|1997. 01. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 위상적 다양체에서 정합성 Higgs 번들의 집합으로서, 유리수 Chern 계수가 0이고 k차 코homology가 비자명한 세미안정 Higgs 번들로 정의된 코homology 지지 집합이 아벨 다양체의 분해임을 증명한다. Simpson의 일반화된 Hitchin 사상에 기반하여, 이들의 저자는 이 사상의 이미지 위의 일반 섬세한 섬의 연결 성분이 아벨 다양체임을 증명한다. 이를 통해 초등형 기하학과 라그랑주 분할을 통해 Green과 Lazarsfeld의 일반성 소멸 정리가 비아벨 설정으로 확장됨을 보인다.

ABSTRACT

In very rough terms, the main theorem is that the set, which consists of semistable vector bundles with trivial rational Chern classes and nontrivial kth cohomology on a smooth complex projective variety, is a degeneration of a union of abelian varieties. More precisely, we consider the subset of the moduli space of Higgs bundles satisfying the analogous cohomological condition. We show that this set is Zariski closed and that if Sigma is the normalization of an irreducible component containing a stable point, then a connected component of a general fiber of the restriction of the Hitchin map to Sigma is an abelian variety. This should be interpreted as a nonabelian version of a theorem of Green and Lazarsfeld. The Hitchin map in this setting is in fact Simpson's generalization of it. The key point is to show that the general fibers of this map are lagrangian (where the target of the map is taken to be the image). This hinges on the fact that this property is essentially hereditary for hyperkaehler submanifolds. We establish various other properties of these sets including a codimension estimate which may be viewed as a generic vanishing theorem.

연구 동기 및 목표

• Higgs 번들을 통해 Green과 Lazarsfeld의 일반성 소멸 정리를 비아벨 설정으로 확장하는 것.
• 유리수 Chern 계수가 0인 세미안정 Higgs 번들의 모듈리공간에서 코homology 지지 집합의 기하학을 분석하는 것.
• 지지 집합의 임의의 기약 성분에 대한 제한된 Hitchin 사상의 섬들이 라그랑주이고, 그 안에 연결 성분으로서 아벨 다양체를 포함함을 확립하는 것.
• 코homology 지지 집합이 모듈리공간에서 조르지-닫힘임을 증명하는 것.
• 코homology 지지 집합의 코드림을 추정하고, 이를 비아벨 맥락에서의 일반성 소멸 결과로 해석하는 것.

제안 방법

• 코homology 지지 집합의 기약 성분 중 하나인 정규화 Σ에 대해 Hitchin 사상을 제한하는 것.
• Hitchin 사상의 도메인을 그 이미지로 취함으로써 사상이 잘 정의되고 올바른 성질을 갖도록 하는 것.
• 초등형 기하학 하에서 라그랑주 분할이 하위다양체 제한에 대해 유전적 성질을 갖는다는 사실을 이용하여, 일반 섬들이 라그랑주임을 보이는 것.
• 초등형 기하학 기법을 적용하여 일반 섬의 연결 성분이 아벨 다양체임을 유도하는 것.
• 모듈리공간의 대수기하학적 성질을 통해 코homology 지지 집합의 조르지-닫힘성을 확립하는 것.
• Hitchin 분할의 구조와 섬의 차원을 이용하여 지지 집합의 코드림 추정을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Higgs 번들의 모듈리공간에서 코homology 지지 집합이 언제 조르지-닫혀 있는가?
• RQ2 Hitchin 사상의 지지 집합 위에서의 섬들이 연결 성분으로서 아벨 다양체를 포함함을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ3 지지 집합의 기약 성분에 제한된 경우, Hitchin 분할의 라그랑주 성질이 어느 정도 유지되는가?
• RQ4 코homology 지지 집합의 코드림은 Hitchin 분할의 섬의 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Simpson의 Hitchin 사상 일반화가 Green과 Lazarsfeld의 일반성 소멸 정리의 비아벨 확장에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 유리수 Chern 계수가 0이고 k차 코homology가 비자명한 세미안정 Higgs 번들에 대한 코homology 지지 집합은 모듈리공간에서 조르지-닫혀 있다.
• 안정 Higgs 번들을 포함하는 지지 집합의 기약 성분 Σ에 대해, Σ의 정규화는 일반 섬이 아벨 다양체인 연결 성분을 갖는 Hitchin 사상의 제한을 가진다.
• 제한된 Hitchin 사상의 일반 섬들은 모듈리공간의 복소 symplectic 형식에 관해 라그랑주이다.
• 코homology 지지 집합의 코드림은 Hitchin 분할의 기저의 차원에 의해 아래에서 유계이므로, 일반성 소멸 추정을 제공한다.
• 라그랑주 성질은 초등형 기하학 하위다양체로의 제한에서도 유지되며, 이는 증명에 필수적이다.
• 이 결과는 선다발에 대한 Green과 Lazarsfeld의 정리의 비아벨 일반화를 Higgs 번들과 표현 모듈리공간의 맥락에서 제공한다.