[논문 리뷰] Geometry of coisotropic submanifolds in symplectic and Kähler manifolds

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|2003. 10. 31.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인-카플러 다양체에서 라그랑주 부분다양체의 핵심 기하적 성질을 코이소트로픽 부분다양체로 일반화하며, 잎새 평균 곡률 1-form과 코이소트로픽 마스로프 지표를 도입한다. 거의 카플러 다양체에서의 표준 연결에 대해 평균 곡률 클래스가 닫혀 있음을 증명하고, 부피 형식의 상대적 닫힘 조건을 통해 영 잎새 분할의 최소성 기준을 제시함으로써 고전 결과를 코이소트로픽 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The first purpose of this paper is to generalize the well-known Maslov indices of maps of open Riemann surfaces with boundary lying on Lagrangian submanifolds to maps with boundary lying on coisotropic submanifolds in symplectic manifolds. For this purpose, we first define the notion of {\it Maslov loops} of coisotropic Grassmanians and their indices. Then we introduce the notions of {\it transverse Maslov bundle} of coisotropic submanifolds, and {\it gradable coisotropic submanifolds}. We then define {\it graded coisotropic submanifolds} and the {\it coisotropic Maslov index} of the maps with boundary lying on such graded coisotropic submanifolds, which reduces to the standard Maslov index of disc maps for the case of Lagrangian submanifolds. The second purpose is to study the geometry of coisotropic submanifolds in Kähler manifolds. We introduce the notion of the leafwise mean curvature form and transverse canonical bundle of coisotropic submanifolds and study various geometric properties thereof. Finally we combine all these to define the notion of {\it special coisotropic submanifolds} for the case of Calabi-Yau manifolds, and prove various consequences on their properties of the coisotropic Maslov indices.

연구 동기 및 목표

• 카플러 및 아인슈타인-카플러 다양체에서 라그랑주 부분다양체로의 평균 곡률과 마스로프 클래스 이론을 코이소트로픽 부분다양체로 확장하는 것.
• 거의 카플러 다양체에서 코이소트로픽 부분다양체에 대한 잎새 평균 곡률 벡터와 곡률 형식을 정의하는 것.
• 코이소트로픽 그라스만이안에서 마스로프 루프의 개념을 도입하고, 그에 대응하는 지표를 정의하는 것.
• 부피 형식의 상대적 닫힘 조건을 통해 코이소트로픽 부분다양체의 영 잎새 분할의 최소성 기준을 확립하는 것.
• 칼라비-유만 다양체에서 등급과 특수 코이소트로픽 부분다양체를 정의하고, 경계가 이러한 부분다양체에 있는 디스크 매핑에 대한 코이소트로픽 마스로프 지표에 대한 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 거의 카플러 다양체에서의 표준 연결을 통해 잎새 평균 곡률 형식 $\alpha_Y^\parallel$을 도입한다.
• 표준 연결과 곡률 형식을 사용하여 곡률과 리치 형식을 연결하는 항등식 $i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$를 유도한다.
• 코이소트로픽 그라스만이안 $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$에서 마스로프 루프를 정의하고, 심플렉틱 및 복소 구조를 통해 관련 지표를 구성한다.
• 코이소트로픽 부분다양체에 적합한 프레임을 사용하여 카르탕의 구조 방정식을 적용하여 제2 기본형과 잎새의 평균 곡률 벡터를 계산한다.
• 영 잎새에서의 부피 형식 $\nu_Y = e^*_{k+1} \wedge \cdots \wedge e^*_n$을 도입하고, 그 상대적 닫힘 조건이 최소 잎새를 특징짓는다는 것을 증명한다.
• 코호몰로지 클래스 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$를 통해 마스로프 클래스의 코이소트로픽 유사체를 유도하고, 경계가 특수 코이소트로픽 부분다양체에 있는 디스크 매핑과의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카플러 다양체에서 라그랑주 부분다양체의 평균 곡률 클래스와 마스로프 지표는 어떻게 코이소트로픽 부분다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 표준 연결은 코이소트로픽 부분다양체의 잎새 평균 곡률과 곡률 형식을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 코이소트로픽 부분다양체의 영 잎새 분할이 최소가 되는 조건은 무엇이며, 기하학적으로 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 코이소트로픽 그라스만이안 $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$에서의 심플렉틱 기하학적 의미는 무엇이며, 라그랑주 경우와 어떻게 다를까?
• RQ5 칼라비-유만 다양체에서의 등급과 특수 코이소트로픽 부분다양체 개념은 경계가 이러한 부분다양체에 있는 디스크 매핑의 마스로프 지표에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 잎새 평균 곡률 형식 $\alpha_Y^\parallel$ 는 $i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$ 를 만족하며, 이는 라그랑주 경우를 일반화한다.
• 아인슈타인-카플러 다양체에서 평균 곡률 클래스 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$ 는 닫혀 있으며, 다조르드와 모르반의 결과를 확장한다.
• 코이소트로픽 부분다양체의 영 잎새 분할은 부피 형식 $\nu_Y$ 가 각 잎새에서 상대적으로 닫혀 있을 때이고, 그 때에만 최소가 된다.
• 코이소트로픽 그라스만이안 $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 에서의 마스로프 루프는 호모토피 불변이 아니지만, 심플렉틱 불변성을 가지며, 이는 라그랑주 경우를 일반화한다.
• 칼라비-유만 다양체에서 특수 코이소트로픽 부분다양체에 대해, 경계가 이러한 부분다양체에 있는 디스크 매핑의 마스로프 지표는 특정 곡률 및 코호몰로지 제약 조건을 만족한다.
• 코이소트로픽 그라스만이안 $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 는 $U(n)/(U(k) \times O(n-k))$ 와 미분동형이며, 차원은 $\frac{(n+3k+1)(n-k)}{2}$ 이다.