[논문 리뷰] Geometry of contact transformations and domains: orderability vs. squeezing

Yakov Eliashberg, Sang Seon Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 11. 27.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 플로어 homology 이론과 새로운 임bedding 기법을 사용하여 대규모에서 접촉 비압축성(Non-squeezing)을 확립하며, 접촉 순서성(orderability)이 위상적으로 민감함을 보여준다. 표준 접촉 구면에서는 비순서 가능하지만, 실수 사영 공간에서는 순서 가능하다. 반면 소규모에서는 비압축성이 사라진다.

ABSTRACT

Gromov's famous non-squeezing theorem (1985) states that the standard symplectic ball cannot be symplectically squeezed into any cylinder of smaller radius. Does there exist an analogue of this result in contact geometry? Our main finding is that the answer depends on the sizes of the domains in question: We establish contact non-squeezing on large scales, and show that it disappears on small scales. The algebraic counterpart of the (non)-squeezing problem for contact domains is the question of existence of a natural partial order on the universal cover of the contactomorphisms group of a contact manifold. In contrast to our earlier beliefs, we show that the answer to this question is very sensitive to the topology of the manifold. For instance, we prove that the standard contact sphere is non-orderable while the real projective space is known to be orderable. Our methods include a new embedding technique in contact geometry as well as a generalized Floer homology theory which contains both cylindrical contact homology and Hamiltonian Floer homology. We discuss links to a number of miscellaneous topics such as topology of free loops spaces, quantum mechanics and semigroups. An erratum is attached whose purpose is to is to correct a number of inconsistencies in the main paper. These are related to the grading of generalized Floer homology and do not affect formulations and proofs of the main results of the paper.

연구 동기 및 목표

• 접촉 기하학에서 그로모프의 비압축성 정리의 접촉 버전이 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• 접촉다양체의 접촉동형군의 기본층에서 자연스러운 부분순서가 존재하는지 조사하는 것.
• 기저 다양체에 따라 접촉 순서성과 비압축성이 어떻게 영향을 받는지 명확히 하는 것.
• 실린더형 접촉 homology와 해밀토니안 플로어 homology를 통합하는 일반화된 플로어 homology 이론을 개발하는 것.
• 접촉 기하학, 루프 공간, 양자역학, 그리고 반군 이론 간의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 대칭적이고 접촉적인 임베딩을 분석하기 위해 접촉 기하학에서 새로운 임베딩 기법을 도입한다.
• 실린더형 접촉 homology와 해밀토니안 플로어 homology를 모두 포함하는 일반화된 플로어 homology 이론을 구축한다.
• 일반화된 플로어 homology를 사용하여 접촉다양체에서 비압축성 현상을 탐지한다.
• 이전의 공식화에서의 일관성 문제를 해결하기 위해 일반화된 플로어 homology의 그레ading 구조를 분석한다.
• homology에서 유도된 위상적 불변량을 사용하여 순서 가능하고 비순서 가능한 접촉다양체를 구별한다.
• 접촉 위상수학, 심플렉틱 강성, 그리고 접촉동형군의 기본층 내의 대수적 구조 간의 상호작용에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접촉 비압축성 정리의 접촉 버전이 존재하는가? 만약 존재한다면 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 접촉동형군의 기본층에 자연스러운 부분순서가 존재하는지 여부는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 접촉 영역의 크기가 비압축성 현상 존재 여부에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양체의 위상은 접촉 순서성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 실린더형 접촉 플로어 homology와 해밀토니안 플로어 homology를 모두 포함하는 통합된 플로어 homology 이론을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 대규모에서 접촉 비압축성이 확립되어 그로모프의 심플렉틱 비압축성에 대한 접촉 버전을 보여준다.
• 소규모에서는 비압축성이 사라지며, 영역 크기에 따라 접촉 강성이 변화하는 단계 전이가 있음을 시사한다.
• 표준 접촉 구면은 비순서 가능하지만, 실수 사영 공간은 순서 가능하다는 점에서 대비된다.
• 접촉동형군의 기본층에 자연스러운 부분순서가 존재하는지 여부는 접촉다양체의 위상에 매우 민감하게 의존한다.
• 실린더형 접촉 homology와 해밀토니안 플로어 homology를 통합하는 새로운 일반화된 플로어 homology 이론이 개발되어 비압축성 탐지에 핵심 도구가 되었다.
• 오류 수정 공고에서 일반화된 플로어 homology의 그레ading 일관성 문제를 수정하였지만, 주요 결과나 증명에는 영향을 주지 않았다.