[논문 리뷰] Geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theories

S. Fischer|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 2

한 줄 요약

이 박사학위논문은 리 대수다발 접속을 사용하여 벡터다발에 값이 있는 함수기반에 대한 도함수로 게이지 변환의 일반화를 통해 곡률이 있는 양밀스هي그스 게이지 이론(CYMH GT)의 좌표에 의존하지 않는 기하학적 형식을 개발한다. 주요 기여는 표적 다발에 대해 임의의 접속—특히 비평탄한 것들—을 허용하는 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것으로, 무한소 게이지 변환의 공통자(commutator)가 닫힘을 이루기 위해서는 표적 다발의 접속이 평탄해야 한다. 이 작업은 라그랑지안을 유지하는 필드 재정의에 의해 CYMH GT들이 동치 클래스로 분류되며, 특히 7차원 구면과 같은 비자명한 위상 기하학적 설정에서 평탄한 접속이나 영 curvature 항 ζ를 달성하는 데 장애가 있음을 규명한다.

ABSTRACT

This is my Ph.D. thesis defended at 31 May 2021, and it is devoted to the study of the geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theory (CYMH GT), a theory introduced by Alexei Kotov and Thomas Strobl. This theory reformulates classical gauge theory, in particular, the Lie algebra (and its action) is generalized to a Lie algebroid $E$, equipped with a connection $ abla$, and the field strength has an extra term $ζ$. In the classical situation $E$ is an action Lie algebroid, $ abla$ is then the canonical flat connection with respect to such an $E$, and $ζ\equiv 0$. The shortened main results of this Ph.D.thesis are the following; see the abstract in the thesis itself for more information: 1. Reformulating curved Yang-Mills-Higgs gauge theory, also including a thorough introduction and a coordinate-free formulation. Especially the infinitesimal gauge transformation will be generalized to a derivation on vector bundle $V$-valued functionals, induced by a Lie algebroid connection. 2. We will discuss what type of connection for the definition of the infinitesimal gauge transformation should be used, and this is argued by studying the commutator of two infinitesimal gauge transformations, viewed as derivations on $V$-valued functionals. We take the connection on $W$ then in such a way that the commutator is again an infinitesimal gauge transformation. 3. Defining an equivalence of CYMH GTs given by a field redefinition. In order to preserve the physics, this equivalence is constructed in such a way that the Lagrangian of the studied theory is invariant under this field redefinition. It is then natural to study whether there are equivalence classes admitting representatives with flat $ abla$ and/or zero $ζ$, and we will do so especially for Lie algebra bundles, tangent bundles and their direct products as Lie algebroids.

연구 동기 및 목표

• 곡률이 있는 양밀스히그스 게이지 이론에서 고전적인 평탄한 접속 프레임워크를 넘어서 무한소 게이지 변환을 일반화하기 위해.
• 표적 다발에 대해 임의의 접속—특히 표준 평탄한 것들만이 아니라—을 허용하는 좌표에 의존하지 않는 CYMH GT의 형식을 개발하기 위해.
• 무한소 게이지 변환의 공통자를 V-값 함수기반 위의 도함수로 간주할 때, 표적 다발의 접속이 평탄할 경우에만 닫힘을 이루는 조건을 규명하고, 이는 닫힘을 이루기 위한 필수 및 충분 조건임을 확인하기 위해.
• 라그랑지안을 유지하는 필드 재정의를 통해 CYMH GT들 간의 동치 관계를 정의하고, 물리적 동치성에 따라 이론들을 분류할 수 있도록 하기 위해.
• 평탄한 접속과 영 curvature 항 ζ를 갖는 대표자가 존재하는지 분석하고, 특히 7차원 구면의 접속다발과 리 대수다발과 같은 특정 기하학적 설정에서의 위상학적 장애를 규명하기 위해.

제안 방법

• V가 필드 사상에 의해 풀어낸 벡터다발 W의 풀백일 때, V-값 함수기반 위의 도함수로 무한소 게이지 변환을 형식화하기 위해.
• 리 대수다발 접속을 사용하여 W에서 V로의 접속의 일반화된 풀백을 도입하여, 게이지 변환의 정의에 비평탄한 접속을 허용하기 위해.
• W = E 및 W = TN의 경우, 기본적인 접속(표준 평탄한 접속이 아닌)을 사용하여, 기저가 되는 게이지 대칭성을 더 자연스럽게 반영하기 위해.
• 라그랑지안을 유지하는 필드 재정의를 통해 CYMH GT들의 동치성을 정의하고, 물리적 동치성을 보장하기 위해.
• 두 무한소 게이지 변환의 공통자를 도함수로 간주하여 분석하고, 표적 다발 W의 접속이 평탄할 경우에만 공통자가 무한소 게이지 변환으로 남는다는 것을 증명하기 위해.
• 특수한 경우에 프레임워크를 적용하기 위해: E = TS⁷ (7차원 구면), E = 리 대수다발 (LAB), 그리고 R-값 함수기반. 이 경우 게이지 변환은 리 미분으로 간소화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표적 다발이 비평탄한 접속을 허용할 경우, 곡률이 있는 양밀스히그스 이론에서 무한소 게이지 변환의 올바른 기하학적 형식은 무엇인가?
• RQ2 두 무한소 게이지 변환의 공통자가 다시 무한소 게이지 변환인 조건은 무엇이며, 이는 표적 다발의 접속에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 필드 재정의를 통해 curvature 항 ζ를 제거할 수 있는가? 이를 수행하는 데 있어 위상학적 장애는 무엇인가?
• RQ4 각 CYMH GT의 동치 클래스 내에서 평탄한 접속 ∇를 갖는 대표자가 존재할 수 있는가? 이는 국소 기하학과 전역 기하학에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 비앙키 항등식의 실패와 curvature 항 ζ 사이의 관계는 무엇이며, ζ는 이 실패의 척도로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• 무한소 게이지 변환의 공통자가 V-값 함수기반 위의 도함수로 간주될 때, 이 공통자가 게이지 변환으로 닫히기 위해서는 표적 다발 W의 접속이 평탄할 필요가 있으며, 이 조건이 필수 및 충분 조건이 된다.
• W = R인 경우, 무한소 게이지 변환은 필드 공간 위의 벡터장의 리 미분으로 간소화되며, 공통자는 벡터장의 리 괄호에 해당한다.
• 리 대수다발의 기본 접속(표준 평탄한 접속이 아닌)은 비아벨 곡률이 있는 양밀스히그스 이론에서 게이지 변환을 더 자연스럽고 대칭적인 방식으로 기술한다.
• 7차원 구면의 접속다발(TS⁷)에서는 동치 클래스 내에 평탄한 접속을 갖는 대표자가 존재하지 않지만, 국소적으로는 그러한 대표자가 존재한다.
• 리 대수다발(LABs)의 경우, 평탄한 접속의 존재는 위상학적 코homology 클래스에 의해 전역적으로 장애를 받으며, 이는 TS⁷의 경우와 유사한 장애이다.
• curvature 항 ζ는 장력의 비앙키 항등식의 실패로 기하학적으로 해석되며, ζ = 0인 대표자가 존재하지 않는 동치 클래스에 대해 정규화된 구성 방법이 존재한다. 이는 국소적으로도 성립한다.