[논문 리뷰] Geometry of diffeomorphism groups, complete integrability and optimal transport

Boris Khesin, Jonatan Lenells외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 구면의 부분집합과 등장하는 오른쪽 불변 $\dot{H}^{1}$-계량을 갖춘 $\text{Dens}(M)$의 부피 밀도 공간과 사이의 기하학적 등장사상을 수립한다. 이 계량은 구면 헬링거 거리와 일치한다. 관련된 옐러-아르놀드 방정식은 임의의 차원에서 완전히 적분 가능하며, 부드러운 해의 유한 시간 내 폭발을 보이며, 미분형식군 기하학과 최적 운반 이론 및 정보 기하학 간의 연결 고리를 형성한다. Fisher-Rao 계량을 통해 연결된다.

ABSTRACT

We study the geometry of the space of densities $\VolM$, which is the quotient space $\Diff(M)/\Diff_μ(M)$ of the diffeomorphism group of a compact manifold $M$ by the subgroup of volume-preserving diffemorphisms, endowed with a right-invariant homogeneous Sobolev $\dot{H}^1$-metric. We construct an explicit isometry from this space to (a subset of) an infinite-dimensional sphere and show that the associated Euler-Arnold equation is a completely integrable system in any space dimension. We also prove that its smooth solutions break down in finite time. Furthermore, we show that the $\dot{H}^1$-metric induces the Fisher-Rao (information) metric on the space of probability distributions, and thus its Riemannian distance is the spherical version of Hellinger distance. We compare it to the Wasserstein distance in optimal transport which is induced by an $L^2$-metric on $\Diff(M)$. The $\dot{H}^1$ geometry we introduce in this paper can be seen as an infinite-dimensional version of the geometric theory of statistical manifolds.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 구면의 부분집합과 사이의 기하학적 등장사상을 오른쪽 불변 $\dot{H}^{1}$-계량에 기반하여 $\text{Dens}(M) = \text{Diff}(M)/\text{Diff}_{\mu}(M)$의 몫 공간과 수립한다.
• 이러한 $\dot{H}^{1}$-계량이 $\text{Dens}(M)$에 유도하는 계량이 구면 헬링거 거리와 피셔- Rao 정보 계량과 대응됨을 보인다.
• $\text{Dens}(M)$에서의 지오데식 흐름을 분석하여 옐러-아르놀드 방정식의 완전한 적분 가능성과 부드러운 해의 유한 시간 내 폭발을 증명한다.
• 무한차원 리만 기하학적 미분형식군의 기하학적 구조를 통해 최적 운반 이론(워샤르쉐인 $L^2$-계량)과 정보 기하학(Fisher-Rao 계량)을 통합한다.

제안 방법

• 무한차원 힐베르트 구면의 부분집합으로 $\text{Dens}(M)$를 사상하는 명시적 등장사를 구축한다. 이는 $<\!\!\langle u,v\rangle\!\!\rangle = \frac{1}{4}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$로 정의된 $\dot{H}^{1}$-노름에 기반한다.
• 오른쪽 불변 $\dot{H}^{1}$-계량에 대한 옐러-아르놀드 방정식을 유도하고, 역산역 방법을 통해 이가 구면 상에서 완전히 적분 가능한 체계로 축소됨을 보인다.
• $\dot{H}^{1}$-계량이 확률 분포 공간에서 피셔- Rao 계량을 유도함을 증명하여, 정보 기하학과 챤츠-아마리 $\alpha$-접속과 연결한다.
• $\text{Diff}(M)$를 부피 형식 공간 $\mathrm{Vol}(M)$에 임bedding하여 $\text{Dens}(M)$에 오른쪽 불변 계량을 유도한다. 공식은 $\langle\!\langle u,v\rangle\!\rangle = \frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$이다.
• 지오데식 흐름의 곡률 및 전역 성질을 분석하여, 지수 사상이 폭발 시간까지 잘 정의되어 있음을 보이고, 해가 끝내 유한 시간 내에 붕괴됨을 보인다.
• 계량을 리만 계량 공간 $\text{Met}(M)$에로 확장하여, 궤도 상에서 유도된 $\dot{H}^{1}$-계량이 리치 곡률을 포함하는 일반적인 $a$-$b$-$c$ 계량 공식에 의해 지배됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 공간 $\text{Dens}(M)$에서의 $\dot{H}^{1}$-계량은 무한차원 구면 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 밀도 공간 $\text{Dens}(M)$에서의 $\dot{H}^{1}$-계량과 관련된 옐러-아르놀드 방정식은 임의의 차원에서 완전한 적분 가능한 구조를 갖는가?
• RQ3 무한차원 확률 공간에서의 $\cdot{H}^{1}$-계량과 피셔- Rao 정보 계량 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 밀도 공간 $\text{Dens}(M)$에서의 $\cdot{H}^{1}$-계량은 구면 헬링거 거리의 기하학적 실현으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 밀도 공간 $\text{Dens}(M)$에서의 지오데식 곡률 및 전역 역학은 $L^2$-계량을 갖는 전통적인 최적 운반 공간 $\text{Diff}(M)$와 비교해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 부분집합으로서의 무한차원 구면과 등장하는 $\text{Dens}(M)$는 $\dot{H}^{1}$-계량을 갖추며, 밀도 공간의 기하학적 실현을 제공한다.
• $\cdot{H}^{1}$-계량은 확률 분포 공간에서의 구면 헬링거 거리를 유도하며, 이는 피셔- Rao 계량과 관련된 리만 계량 거리이다.
• 오른쪽 불변 $\cdot{H}^{1}$-계량에 대한 옐러-아르놀드 방정식은 임의의 차원에서 완전히 적분 가능하며, 카마사-홀름 및 버거스 방정식과 같은 적분 가능한 시스템을 일반화한다.
• 부드러운 해는 $\text{Dens}(M)$에서 지오데식 방정식의 해로서 유한 시간 내에 붕괴되며, 이는 적분 가능성에도 불구하고 유한 시간 내 폭발을 의미한다.
• $\text{Dens}(M)$에서의 $\cdot{H}^{1}$-계량은 $\text{Diff}(M)$가 $\mathrm{Vol}(M)$에 작용함으로써 유도된 몫 계량으로 자연스럽게 나타나며, 유도된 계량은 $\frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$로 주어진다.
• $\text{Dens}(M)$에서의 $\cdot{H}^{1}$-계량의 곡률은 비자명하며, 지수 사상은 폭발 시간까지만 잘 정의된다. 이는 부드러운 해의 붕괴와 일치한다.