[논문 리뷰] Geometry of infinitely presented small cancellation groups, Rapid Decay and quasi-homomorphisms

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 45인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $C^\prime(1/10)$ 조건을 만족하는 무한적으로 표현된 소작분할 군에 대해 빠른 감쇠 성질(Rapid Decay property)을 증명하며, 그 군의 카일리 그래프에서 군 원소의 새로운 크로스크로스 분해를 사용한다. 또한 연속체의 멱을 가진 선형 독립적인 준호모모르피즘의 가족이 존재함을 증명하여, 2차 코hom로지의 비교 사상의 핵이 비가чёт 수 차원을 가짐을 시사한다.

ABSTRACT

We study the geometry of infinitely presented groups satisfying the small cancelation condition C'(1/8), and define a standard decomposition (called the criss-cross decomposition) for the elements of such groups. We use it to prove the Rapid Decay property for groups with the stronger small cancelation property C'(1/10). As a consequence, the Metric Approximation Property holds for the reduced C*-algebra and for the Fourier algebra of such groups. Our method further implies that the kernel of the comparison map between the bounded and the usual group cohomology in degree 2 has a basis of power continuum. The present work can be viewed as a first non-trivial step towards a systematic investigation of direct limits of hyperbolic groups.

연구 동기 및 목표

• 무한적으로 표현된 소작분할 군이 $C^\prime(1/10)$ 조건을 만족할 때 빠른 감쇠 성질을 확립하여, 유한 표현 사례를 넘어서는 해석적 결과를 확장한다.
• $C^\prime(1/8)$-군에서 원소를 분석하기 위한 기하적 분해 도구인 크로스크로스 분해를 개발하여, 지오데식선과 군의 구조를 분석한다.
• 이러한 군에서 비가чёт 수의 독립적인 준호모모르피즘의 가족을 구성하여 풍부한 유계 코hom로지적 구조를 드러낸다.
• 분석적 불변량인 빠른 감쇠 성질과 준호모모르피즘을 통해 초하이퍼볼릭 군의 직접극한의系통적인 연구를 시작한다.
• 기하군론과 연산자 대수학을 연결하여 군의 성질이 $C^*_r(G)$와 $A(G)$의 메트릭 근사 성질과 어떻게 관련되는지를 밝힌다.

제안 방법

• 지오데식선과 카일리 그래프의 중앙 물체의 기하학에 기반하여, $C^\prime(1/8)$-군에서 군 원소를 분해하는 표준적인 방법으로 크로스크로스 분해를 도입한다.
• 크로스크로스 분해를 통해 단어 길이의 성장률을 제어하고, $\eta$-관계자에 연결된 원소에서 윤곽 분석을 통해 준호모모르피즘의 결함을 유계화한다.
• 중간 물체 $\mathfrak{m}(g,h)$를 사용하여 관계자의 중첩된 준복제 간의 분리 여부를 탐지함으로써 준호모모르피즘 차이의 정밀한 계산을 가능하게 한다.
• $\eta$-관계자에 연결된 원소 $\mathfrak{u}_n$과 관련된 준호모모르피즘 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$을 정의하며, 윤곽 수와 분리 조건을 사용하여 결함이 2 이내임을 보인다.
• $\ell^1$에서 준호모모르피즘 공간 $\widetilde{QH}(G)$로의 단사 선형 사상 구축을 통해, $\mathfrak{h}(\mathfrak{u}_n^k)$의 성장에 대한 모순을 이용해 비가чёт 수 차원임을 증명한다.
• 크로스크로스 분해를 활용하여 $C^\prime(1/10)$ 조건 하에서 빠른 감쇠 부등식이 성립함을 검증함으로써, $C^*_r(G)$와 $A(G)$의 메트릭 근사 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한적으로 표현된 소작분할 군이 $C^\prime(1/10)$ 조건을 만족할 때 빠른 감쇠 성질이 성립하는가?
• RQ2 $C^\prime(1/8)$-군에서 지오데식선의 행동과 단어 길이를 제어하기 위해 군 원소의 표준 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 군의 2차 유계 코호몰로지 클래스 공간의 차원은 얼마인가?
• RQ4 $C^\prime(1/10)$-군에서 비가чёт 수의 독립적인 준호모모르피즘의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 소작분할 설정에서 지오데식선과 중간 물체의 기하학은 준호모모르피즘의 결함과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 표현이 $C^\prime(1/10)$인 군 $G$는 빠른 감쇠 성질을 만족하며, 이는 축소된 $C^*$-대수 $C^*_r(G)$와 푸리에 대수 $A(G)$가 메트릭 근사 성질을 가짐을 시사한다.
• 유계 코호몰로지에서 일반 코호몰로지로의 비교 사상의 핵은 연속체의 기수를 가진 기저를 가지며, 이는 비자명한 유계 코호몰로지 클래스의 큰 공간이 존재함을 나타낸다.
• 군 $G$에는 비가чёт 수의 선형 독립적인 준호모모르피즘의 가족이 존재하며, 공간 $\widetilde{QH}(G)$의 차원은 연속체와 같다.
• 크로스크로스 분해는 $C^\prime(1/8)$-군에서 지오데식선과 군 원소를 분석하는 기하적 도구를 제공하며, Rips-Sela의 표준 대표자와는 다릅니다.
• 준호모모르피즘 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$의 결함은 최대 2이며, 그 값이 $\mathfrak{u}_n^k$의 거듭제곱에서 선형적으로 증가하므로 $\ell^1$에서 $\widetilde{QH}(G)$로의 사상이 단사임을 보장한다.
• 중간 물체 $\mathfrak{m}(g,h)$에 의한 윤곽 분리에 기반한 구성으로, 차이 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(gh) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(g) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(h)$는 중첩 및 분리 조건에 따라 $\pm 1$ 또는 $\pm 2$ 이내로 유계화된다.