[논문 리뷰] Geometry of orbit spaces of proper Lie groupoids

Markus J. Pflaum, Hessel Posthuma외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 임의의 proper Lie 군oids의 궤도 공간에 대해 표준적인 Whitney B 계층화와 스무스 제어 자료를 수립하고, 횡단으로 불변하는 리만 계량을 구성하여 특이 리만 폴로노미아를 유도하며, 궤도 공간이 길이 공간이자 삼등분 가능하다는 것을 증명하고, 기본 코homology에 대한 de Rham 정리를 증명하여, 몫이 컴act일 경우 그 차원이 유한하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study geometric properties of quotient spaces of proper Lie groupoids. First, we construct a natural stratification on such spaces using an extension of the slice theorem for proper Lie groupoids of Weinstein and Zung. Next, we show the existence of an appropriate metric on the groupoid which gives the associated Lie algebroid the structure of a singular riemannian foliation. With this metric, the orbit space inherits a natural length space structure whose properties are studied. Moreover, we show that the orbit space of a proper Lie groupoid can be triangulated. Finally, we prove a de Rham theorem for the complex of basic differential forms on a proper Lie groupoid.

연구 동기 및 목표

• Proper Lie 군oids의 궤도 공간에 대한 일반 이론을 개발하여, proper Lie 군행동에서 알려진 결과를 확장한다.
• Zung의 linearization 정리에서 제한적인 가정(유한 유형, 소스 국소적으로 평탄함)을 제거한다.
• 궤도 공간에 자연스러운 계량 구조를 구성하여, 곡률에 하한이 있을 경우 길이 공간 및 Alexandrov 공간의 구조를 상속함을 보여준다.
• 궤도 공간이 삼등분 가능하다는 것을 증명하여, 좋은 커버링을 갖는다는 것과 코homological 분석이 가능하다는 것을 보장한다.
• Proper Lie 군oids의 기본 미분형식 복합체에 대한 de Rham 정리를 수립하여, 몰입이 컴 pact일 경우 기본 코homology가 유한차원임을 보여준다.

제안 방법

• Weinstein와 Zung의 슬라이스 정리의 확장(확장)을 사용하여, 유한 유형이나 소스 국소 평탄성 조건 없이 궤도 공간에 표준적인 Whitney B 계층화를 구성한다.
• 각 궤도의 정규다발 위에서 군oids 작용에 대해 불변하는, 군oids 위의 횡단으로 불변하는 리만 계량의 개념을 도입한다.
• 임의의 proper Lie 군oids 위에 완전한 횡단으로 불변하는 리만 계량이 존재함을 증명한다.
• metric tubular neighborhood 정리를 수립하여, 연속 함수에 의해 제어되는 이웃에서 선형화된 군oids와 국소적으로 동형임을 보여준다.
• submetry를 통한 궤도 공간 위의 자연스러운 계량을 정의하여, 이가 길이 공간임을 보이고, 곡률이 아래로 유계이면 Alexandrov 공간임을 보여준다.
• 스무스 제어 자료를 통한 궤도 공간의 삼등분 가능성(삼등분 가능성)을 이용하여, 기본 코homology에 대한 de Rham 정리를 증명하고, 이를 특이 코homology와 동일시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 proper Lie 군oids의 궤도 공간은 유한 유형이나 소스 국소 평탄성 조건 없이도 표준적인 Whitney B 계층화를 갖는가?
• RQ2 모든 proper Lie 군oids는 횡단으로 불변하는 리만 계량을 갖는가? 그리고 그러한 계량은 단위 공간 위에 특이 리만 폴로노미아를 유도하는가?
• RQ3 궤도 공간은 자연스러운 계량 구조를 갖는가? 어떤 조건에서 길이 공간 또는 Alexandrov 공간이 되는가?
• RQ4 Proper Lie 군oids의 궤도 공간은 삼등분 가능한가? 그리고 그 위상적 결과는 무엇인가?
• RQ5 Proper Lie 군oids의 기본 미분형식 복합체에 대해 de Rham 정리가 성립하는가? 몰입이 컴 pact일 경우 기본 코homology는 유한차원인가?

주요 결과

• 임의의 proper Lie 군oids의 궤도 공간은, Morita 동치에 대해 표현에 관계없이 불변하는 스무스 제어 자료를 갖는 표준적인 Whitney B 계층화를 갖는다.
• 모든 proper Lie 군oids는 횡단으로 불변하는 리만 계량을 갖는다. 또한 단위 공간은 궤도의 연결 성분이 잎인 특이 리만 폴로노미아를 지닌다.
• 모든 궤도에 대해, 그 위에 존재하는 metric tubular neighborhood에서 군oids는 그 선형화와 국소적으로 동형이며, 이는 슬라이스 정리의 일반화이다.
• 단위 공간에서 궤도 공간으로의 표준 사영은 submetry이며, 이는 궤도 공간이 길이 공간임을 보여주고, 곡률이 아래로 유계이면 Alexandrov 공간임을 보여준다.
• 궤도 공간은 삼등분 가능하며, 이는 임의로 미세한 좋은 커버링을 갖는다는 것을 의미하고, 특이 코homology와 기본 복합체의 코homology를 동일시할 수 있다.
• Proper Lie 군oids의 기본 코homology에 대해 de Rham 정리가 성립한다: 이는 궤도 공간의 특이 코homology와 동형이며, 몰입이 컴 pact일 경우 유한차원이다.