[논문 리뷰] Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces

M. I. Wanas, Nabil L. Youssef외 1명|ArXiv.org|2007. 04. 16.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 라그랑주 공간 내에서 고전적 AP-기하학의 일반화로 일반화된 절대 평행성(GAP) 기하학을 제안한다. 여기서 기하 객체는 위치(x)와 방향(y)에 모두 의존한다. 네 종류의 d-접속(기본, 쌍대, 대칭, 리만)을 정의하고, 기본 d-접속의 토크르션을 바탕으로 구한 9개의 비영(curvature) 텐서를 유도하며, 모든 W-텐서와 그 수축을 계산하여 고전적 AP-기하학을 넘는 새로운 기하적 구조의 물리적 해석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we deal with a generalization of the geometry of parallelizable manifolds, or the absolute parallelism (AP-) geometry, in the context of generalized Lagrange spaces. All geometric objects defined in this geometry are not only functions of the positional argument $x$, but also depend on the directional argument $y$. In other words, instead of dealing with geometric objects defined on the manifold $M$, as in the case of classical AP-geometry, we are dealing with geometric objects in the pullback bundle $π^{-1}(TM)$ (the pullback of the tangent bundle $TM$ by $ π: T M\longrightarrow M$). Many new geometric objects, which have no counterpart in the classical AP-geometry, emerge in this more general context. We refer to such a geometry as generalized AP-geometry (GAP-geometry). In analogy to AP-geometry, we define a $d$-connection in $π^{-1}(TM)$ having remarkable properties, which we call the canonical $d$-connection, in terms of the unique torsion-free Riemannian $d$-connection. In addition to these two $d$-connections, two more $d$-connections are defined, the dual and the symmetric $d$-connections. Our space, therefore, admits twelve curvature tensors (corresponding to the four defined $d$-connections), three of which vanish identically. Simple formulae for the nine non-vanishing curvatures tensors are obtained, in terms of the torsion tensors of the canonical $d$-connection. The different $W$-tensors admitted by the space are also calculated. All contractions of the $h$- and $v$-curvature tensors and the $W$-tensors are derived. Second rank symmetric and skew-symmetric tensors, which prove useful in physical applications, are singled out.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 라그랑주 공간을 통해 방향 의존성을 포함함으로써 고전적 AP-기하학을 더 넓은 기하적 프레임워크로 확장하는 것.
• 기존의 고전적 AP-기하학과 대응되는 것이 없는, 당김 번들의 π⁻¹(TM) 내에서 새로운 기하 객체를 정의하고 연구하는 것.
• 이 일반화된 설정에서 네 가지의 서로 다른 d-접속(기본, 쌍대, 대칭, 리만)에 대해 곡률 텐서와 W-텐서를 유도하고 분석하는 것.
• GAP-기하학에서 나타나는 새로운 기하 양의 물리적 해석을 위한 기초를 마련하는 것, 특히 수직 및 방향 성분에 중점을 두어.
• 트레이스와 수축 항등식을 통한 체계적 프레임워크를 구축하여 물리적 텐서를 비교하고 선택하는 것.

제안 방법

• 기하 객체가 위치 x와 방향 y에 모두 의존하는 함수로 간주되도록, 당김 번들의 π⁻¹(TM)에서 형식론을 개발한다.
• 당김 번들의 수평 및 수직 분할을 정의하기 위해 비선형 접속 Nᵅᵤ 를 도입한다.
• 기본 d-접속 D 는 π-벡터 필드 λᵢ 가 정의하는 평행화에 대해 유일한 토크르션 없는 리만형 d-접속으로 정의된다.
• 쌍대 및 대칭 d-접속은 고전적 AP-기하학과 유사하게 구성되며, 네 종류의 d-접속을 완성한다.
• 각 d-접속에 대한 곡률 텐서는 기본 d-접속의 토크르션을 바탕으로 계산되며, 9개의 비영 곡률 성분에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 모든 W-텐서와 그 수축(스칼라 트레이스 포함)을 체계적으로 계산하고, 기본 대칭 및 반대칭 2계 텐서로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 라그랑주 공간의 맥락에서 고전적 AP-기하학을 방향 의존성을 포함하여 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고전적 AP-기하학에 존재하지 않는, 당김 번들의 π⁻¹(TM) 내에서 어떤 새로운 기하 객체가 나타나는가?
• RQ3 네 종류의 서로 다른 d-접속(기본, 쌍대, 대칭, 리만)의 곡률 텐서는 기본 d-접속의 토크르션과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 이 일반화된 프레임워크에서 완전한 W-텐서 집합과 그 수축은 무엇이며, 기본 기하 텐서와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 물리적 응용에 가장 적합한 2계 및 스칼라 텐서는 무엇이며, 어떻게 체계적으로 식별하고 비교할 수 있는가?

주요 결과

• 9개의 비영 곡률 텐서가 도출되었으며, 모두 기본 d-접속의 토크르션 텐서로 명시적으로 표현된다.
• 12개의 곡률 텐서 중 세 개(기본, 쌍대, 대칭 d-접속에 해당)는 항등적으로 0이 되며, 나머지 9개의 성분만 비영이다.
• h-곡률 및 v-곡률 텐서의 모든 수축이 계산되었으며, 제5절에서 정의된 기본 대칭 및 반대칭 2계 텐서로 표현된다.
• 모든 네 종류의 d-접속에 대해 W-텐서가 도출되었으며, 그 스칼라 트레이스와 수축이 표 6(a) 및 6(b)에 순차적으로 정리되어 있다.
• 스칼라 W-텐서(h-스칼라 및 v-스칼라)는 θ, ω, σ, ψ 등의 기본 텐서의 트레이스 조합으로 표현된다.
• 이 프레임워크는 기하 객체 간의 체계적 비교를 가능하게 하며, 모든 2계 및 스칼라 텐서가 기본 텐서로 표현되어 물리적으로 의미 있는 양을 선별하는 데 도움이 된다.