[논문 리뷰] Geometry of pentagons: from Gauss to Robbins

Dragutin Svrtan, Darko Veljan외 1명|ArXiv.org|2004. 03. 29.

Mathematics and Applications참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 볼록 오각형의 정점 삼각형(세 개의 연속된 정점으로 이루어진 삼각형)의 면적만을 사용하여 면적을 계산하는 가우스의 덜 알려진 오각형 면적 공식을 제시하고 증명한다. 가우스 공식, 몽지 공식, 피타고라스의 정리 사이의 등가성을 보이고, 결과물(resultants)를 통해 원주형 오각형의 면적에 대한 새로운 유리수 표현을 유도함으로써, 오각형 기하학에 대한 완전한 대수적 프레임워크를 수립한다. 이는 헤론과 브라마굽타의 고전적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

An almost forgotten gem of Gauss tells us how to compute the area of a pentagon by just going around it and measuring areas of each vertex triangles (i.e. triangles whose vertices are three consecutive vertices of the pentagon). We give several proofs and extensions of this beautiful formula to hexagon etc. and consider special cases of affine--regular polygons. The Gauss pentagon formula is, in fact, equivalent to the Monge formula which is equivalent to the Ptolemy formula. On the other hand, we give a new proof of the Robbins formula for the area of a cyclic pentagon in terms of the side lengths, and this is a consequence of the Ptolemy formula. The main tool is simple: just eliminate from algebraic equations, via resultants. By combining Gauss and Robbins formulas we get an explicit rational expression for the area of any cyclic pentagon. So, after centuries of geometry of triangles and quadrilaterals, we arrive to the nontrivial geometry of pentagons.

연구 동기 및 목표

• 볼록 오각형의 면적을 삼각형으로 분할하지 않고도 정점 삼각형의 면적만을 사용하여 계산하는 가우스의 거의 잊혀진 공식을 제시하고 증명하는 것.
• 원주형 사각형에 대해 가우스 오각형 공식, 몽지 공식, 피타고라스 정리 사이의 등가성을 확립하는 것.
• 피타고라스 항등식을 이용한 대수적 제거를 통해 원주형 오각형의 면적에 대한 새로운 명시적 유리수 공식을 유도하는 것.
• 가우스 공식을 로빈스의 원주형 오각형 공식과 결합하여 다각형 기하학의 결과를 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 몽지 공식을 통한 가우스 오각형 공식 증명을 위해 좌표 기하학과 기호 계산을 사용하는 것.
• 삼각법 항등식(각도의 사인을 포함)을 적용하여 몽지 공식이 대수적 항등식임을 검증하는 것.
• 대수적 방정식에서 변수를 제거하기 위해 결과물(resultants)를 활용하여 원주형 오각형에 대한 로빈스 공식을 도출하는 것.
• 가우스 공식이 몽지 공식과 등가임을 보이고, 삼각법 항등식을 통해 피타고라스 정리와도 등가임을 보이는 것.
• 정점 삼각형 면적의 초항 대칭합 $ c_1 $ 과 초항 대칭곱 $ c_2 $ 를 정의하여 오각형 면적을 이차방정식 $ A^2 - c_1A + c_2 = 0 $ 으로 표현하는 것.
• 삼각법적 및 대수적 변환을 통해 가우스, 몽지, 피타고라스 공식 간의 등가성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형으로 분할하지 않고도 정점 삼각형의 면적만을 사용하여 볼록 오각형의 면적을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 가우스 오각형 공식, 몽지 공식, 원주형 사각형에 대한 피타고라스 정리 사이의 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ3 피타고라스 항등식을 기반으로 대수적 제거를 통해 원주형 오각형의 면적에 대한 유리수 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 오각형이 애핀-정규형(affine-regular)이 되는 조건은 무엇이며, 이는 정점 삼각형 면적이 모두 동일한 경우와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 원주형 오각형의 면적에 대한 명시적 표현은 무엇이며, 이는 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 가우스 오각형 공식은 볼록 오각형의 면적 $ A $ 가 $ A^2 - c_1A + c_2 = 0 $ 을 만족한다고 한다. 여기서 $ c_1 $ 과 $ c_2 $ 는 다섯 개의 정점 삼각형 면적의 초항 대칭합이다.
• 이 공식은 몽지 공식 $ (012)(034) + (014)(023) = (013)(024) $ 과 등가이며, 이는 원주형 사각형에 대한 피타고라스 정리와도 등가이다.
• 한 변의 길이가 $ a $ 인 정오각형의 면적은 $ \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1.72a^2 $ 로 계산되며, 기존의 알려진 값과 일치한다.
• 애핀-정규형 오각형는 모든 정점 삼각형의 면적이 동일한 것으로 특징지어지며, 그 면적은 $ A = \sqrt{5}\varphi k \approx 3.62k $ 로 주어진다. 여기서 $ k $ 는 각 정점 삼각형의 공통 면적이다.
• 가우스 공식과 로빈스 공식을 조합함으로써 결과물(resultants)를 사용하여 임의의 원주형 오각형에 대한 명시적 유리수 표현을 도출하였다.
• 논문은 헤론(1세기) → 브라마굽타(7세기) → 로빈스(1995년)의 고전적 면적 공식의 연속을 확장하여 원주형 오각형 면적 계산을 위한 완전한 대수적 프레임워크를 수립하였다.