[논문 리뷰] Geometry of quasi-sum production functions with constant elasticity of substitution property

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 등탄력성대체성(CEMS)을 갖는 준합성생산함수를 분류하고, 그 그래프의 가우스-크로네커 곡률이 0이 되는 조건을 증명한다. 즉, 그래프가 평평한 경우에만 선형 동차 일반화된 ACMS 또는 선형 동차 일반화된 코브-다우글라스 함수임을 보여준다. 이 연구는 미분기하학에서의 기하 곡률 성질을 경제학적 생산함수 구조와 연결하여, 마이크로경제학의 핵심 생산모델에 대한 미분기하학적 특성화를 제시한다.

ABSTRACT

A production function $f$ is called quasi-sum if there are strict monotone functions $F, h_1,...,h_n$ with $F'>0$ such that $$f(x)= F(h_1 (x_1)+...+h_n (x_n)).$$ The justification for studying quasi-sum production functions is that these functions appear as solutions of the general bisymmetry equation and they are related to the problem of consistent aggregation. In this article, first we present the classification of quasi-sum production functions satisfying the constant elasticity of substitution property. Then we prove that if a quasi-sum production function satisfies the constant elasticity of substitution property, then its graph has vanishing Gauss-Kronecker curvature (or its graph is a flat space) if and only if the production function is either a linearly homogeneous generalized ACMS function or a linearly homogeneous generalized Cobb-Douglas function.

연구 동기 및 목표

• 등탄력성대체성(CEMS) 성질을 만족하는 준합성생산함수를 분류하는 것.
• 그러한 생산함수의 그래프가 가우스-크로네커 곡률이 0이 되는 기하 조건을 조사하는 것.
• 그래프의 기하적 평탄함과 생산함수의 함수형태 사이의 필요충분조건을 설정하는 것.
• 등탄력성대체성(CEMS) 성질과 함께 그래프 곡률이 0이 되는 조건을 동시에 만족하는 생산함수의 클래스가 오직 두 가지 유형—선형 동차 일반화된 ACMS 또는 선형 동차 일반화된 코브-다우글라스 함수—임을 보여주는 것.
• 곡률 불변량을 이용한 미분기하학적 특성화를 통해 기본적인 경제생산모델을 특성화하는 것.

제안 방법

• 준합성생산함수의 일반형태에서 분석을 시작한다: $ f(\mathbf{x}) = F(h_1(x_1) + \cdots + h_n(x_n)) $, 여기서 $ F' > 0 $ 이고 각 $ h_i $ 는 엄격히 단조증가 또는 감소한다.
• 등탄력성대체성(CEMS) 성질은 헤시안 기반 탄력도 공식 $ H_{ij}(\mathbf{x}) = \sigma $ 을 통해 도입되며, 이는 모든 $ i \neq j $ 에 대해 일정한 상수이다.
• 함수 $ f $ 의 그래프의 가우스-크로네커 곡률은 헤시안 행렬식과 일阶 도함수를 이용하여 계산되며, 이는 $ F'' $ 와 $ F' $ 을 포함하는 곡률 조건으로 이어진다.
• 가우스-크로네커 곡률을 0으로 놓는 조건을 통해 $ F $ 에 대한 미분방정식을 유도하고, CEMS 제약 조건 하에서 이를 풀게 된다.
• 해를 두 경우로 나누어 분석한다: 동차 일반화된 ACMS와 동차 일반화된 코브-다우글라스 함수.
• 대체 및 변환 기법을 사용하여 곡률 조건을 적절한 상미분방정식으로 간소화하고, $ F $ 의 명시적 함수형태를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등탄력성대체성(CEMS)을 갖는 준합성생산함수 중에서 그래프의 가우스-크로네커 곡률이 0이 되는 것은 무엇인가?
• RQ2 준합성 CEMS 생산함수의 그래프에 대해 평탄함(가우스-크로네커 곡률이 0)을 유도하는 기하 조건은 무엇인가?
• RQ3 등탄력성대체성(CEMS) 성질과 함께 그래프 곡률이 0이 되는 조건을 동시에 만족하는 함수형태는 오직 특정한 두 유형 뿐인가?
• RQ4 선형 동차 일반화된 ACMS 및 코브-다우글라스 함수의 클래스는 곡률 성질에 의해 유일하게 특성화될 수 있는가?
• RQ5 그래프의 평탄함은 생산함수가 선형 동차 일반화된 ACMS 또는 선형 동차 일반화된 코브-다우글라스 함수임과 동치인가?

주요 결과

• 준합성생산함수의 그래프가 가우스-크로네커 곡률을 0으로 가지는 것은 오직 그것이 다음 형태의 선형 동차 일반화된 ACMS 함수일 때에만 성립한다: $ f(\mathbf{x}) = \gamma \left( \sum_{i=1}^n a_i^\rho x_i^\rho \right)^{1/\rho} $, 여기서 $ \gamma, a_i, \rho \neq 0 $.
• 준합성생산함수의 그래프가 가우스-크로네커 곡률을 0으로 가지는 것은 오직 그것이 다음 형태의 선형 동차 일반화된 코브-다우글라스 함수일 때에만 성립한다: $ f(\mathbf{x}) = \gamma x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} $, 여기서 $ \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 $ 이고 $ \gamma, \alpha_i \neq 0 $.
• 형태 $ f = F(x_2/x_1) $ 인 이변수 준합성함수의 경우, 가우스-크로네커 곡률이 0이 될 수 없으며, 이는 $ F' = 0 $ 이 되어야 하기 때문이다. 그러나 이는 $ F $ 의 엄격한 단조성과 모순되므로, 이러한 함수는 평탄함 조건에서 제외된다.
• 곡률 조건에서 유도된 미분방정식 $ F'(u) = (\sigma - 1)u F''(u) $ 는 거듭제곱 해법 $ F(u) = \alpha u^{\sigma/(\sigma-1)} $ 를 유도하며, 이는 일반화된 ACMS 형태를 특성화한다.
• 일반화된 코브-다우글라스의 경우, 곡률 조건은 $ F'(u) = \gamma u^{1/\alpha - 1} $ 를 유도하며, 이는 $ f(\mathbf{x}) = \gamma (x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n})^{1/\alpha} $ 로 이어진다. 이는 $ \sum \alpha_i = 1 $ 일 때 선형 동차 형태로 간소화된다.
• 역으로, 동차도가 1인 일반화된 ACMS 및 일반화된 코브-다우글라스 함수는 모두 평탄한 그래프를 갖는다. 이는 특성화의 정당성을 확인한다.