[논문 리뷰] Geometry of rank tests

Jason Morton, Lior Pachter외 3명|ArXiv.org|2006. 05. 07.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비모수 통계에서 순위 검정을 기하학적 및 대수적 프레임워크로 제시하며, 순열에 대한 통계에 의해 유도된 대칭군 $S_n$ 의 분할로 모델링한다. 볼록 순위 검정이 브레이드 배치를 더 넓은 다면체 분할로 만드는 다면체 분할과 대응됨을 증명하고, 하위모듈러 및 그래프 기반 순위 검정이 각각 퍼뮤토이드와 그래프 아소시아헤드라의 민코프스키 합성분과 동치임을 보이며, 분배 격자와 선형 확장 수를 통한 효율적 계산이 가능하다.

ABSTRACT

We study partitions of the symmetric group which have desirable geometric properties. The statistical tests defined by such partitions involve counting all permutations in the equivalence classes. These permutations are the linear extensions of partially ordered sets specified by the data. Our methods refine rank tests of non-parametric statistics, such as the sign test and the runs test, and are useful for the exploratory analysis of ordinal data. Convex rank tests correspond to probabilistic conditional independence structures known as semi-graphoids. Submodular rank tests are classified by the faces of the cone of submodular functions, or by Minkowski summands of the permutohedron. We enumerate all small instances of such rank tests. Graphical tests correspond to both graphical models and to graph associahedra, and they have excellent statistical and algorithmic properties.

연구 동기 및 목표

• 비모수 통계에서의 순위 검정에 대한 대수적 조합론과 기하학을 기반으로 한 수학적 이론을 개발하는 것.
• 순열에 대한 통계에 의해 유도된 대칭군 $S_n$ 의 분할로 순위 검정을 특성화하는 것.
• 볼록 순위 검정이 브레이드 배치를 더 넓은 다면체 분할로 만드는 다면체 분할과 대응되며, 반정적 그래프 모형(semi-graphoids)과도 대응됨을 밝혀내는 것.
• 하위모듈러 순위 검정이 $(n-1)$-차원 퍼뮤토이드의 민코프스키 합성분과 이분기하학적으로 대응됨을 보여주는 것.
• 그래프 기반 순위 검정, 그래프 아소시아헤드라, 그래프의 튜빙(tubings) 간의 등가성을 확립하여 효율적인 p-값 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 순위 검정을 $\tau: S_n \to T$ 로 모델링하며, 여기서 $T$ 는 통계의 집합이고, $\tau(\pi)$ 값이 같은 순열들이 같은 동치류로 분할되도록 한다.
• 두 동치 순열의 교차의 선형 확장이 항상 동일한 클래스에 속하도록 보장하는 공리에 기반해 사-볼록 순위 검정을 정의한다.
• 사-볼록 순위 검정의 각 동치류를 $[n]$ 에 정의된 부분순서집합(poset) $P$ 의 선형 확장 $\mathcal{L}(P)$ 의 집합으로 표현한다.
• 부분순서집합의 순서 이상물의 분배 격자를 사용하여 선형 확장의 수를 계산함으로써 각 검정 클래스의 크기, 즉 p-값을 구한다.
• 그래프 기반 순위 검정의 경우, 그래프 $G$ 의 튜빙에 대한 $G$-트리 표현을 사용하여 다항계수를 통한 재귀적 방법으로 선형 확장의 수를 계산한다.
• 휴리스틱 기법과 최적화된 데이터 구조를 사용하여 선형 확장의 수를 효율적으로 나열하는 알고리즘을 구현하였으며, 소프트웨어는 www.bio.math.berkeley.edu/ranktests/ 에서 이용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비모수 통계에서의 순위 검정은 어떻게 기하학적 및 조합론적 대상으로 형식화될 수 있는가?
• RQ2 순열 공간에서 볼록 영역에 대응하는 순위 검정을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 하위모듈러 함수는 순위 검정의 기하학과 다면체 분할과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 그래프 모형과 순위 검정 간의 정확한 연결고리는 그래프 아소시아헤드라를 통해 어떻게 밝혀지는가?
• RQ5 p-값 추정을 위한 부분순서집합의 선형 확장 수를 효율적으로 계산하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $n \leq 5$ 에 대해 볼록 순위 검정이 분류되었으며, 이는 브레이드 배치를 더 넓은 다면체 분할로 만드는 다면체 분할과 완전한 대응을 이룬다.
• 하위모듈러 순위 검정은 $(n-1)$-차원 퍼뮤토이드의 민코프스키 합성분과 이분기하학적으로 대응되며, 기하학적 특성화를 제공한다.
• 그래프 기반 순위 검정은 그래프 아소시아헤드라 $\Delta_G$ 의 면의 구조와 동치이며, 테스트 클래스의 수는 $G$-카탈란 수로 주어진다.
• 경로 그래프의 경우 클래스 수는 $n$ 번째 카탈란 수 $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ 이고, 사이클의 경우 $\binom{2n-2}{n-1}$ 이다.
• 부분순서집합 $P$ 의 선형 확장 수는 그 순서 이상물의 분배 격자를 통해 계산 가능하며, 이 계산은 #P-완전이지만 효율적 휴리스틱에 의해 처리 가능하다.
• 튜빙 기반 순위 검정의 테스트 클래스 크기를 계산하는 재귀 공식이 존재한다: $|\tau^{-1}(\mathbf{T})| = \binom{\sum |\mathbf{T}^i|}{|\mathbf{T}^1|,\ldots,|\mathbf{T}^k|} \prod |\tau^{-1}(\mathbf{T}^i)|$.