[논문 리뷰] Geometry of representation spaces in SU(2)

Julien Marché|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비틀린 코homology, 게이지 이론, 초전도 이론을 사용하여 표면과 3차원 다양체의 SU(2) 표현 공간의 미분기하학적 및 심플렉틱기하학적 성질을 개발한다. 보른-좀머펠트 궤도와 메타플레크틱 보정을 통한 기하적 양자화를 통해 표면 위의 평탄한 SU(2) 접속의 모듈리 공간을 기하적 양자화하고, 양자 클렙슈-고르단 조건을 유도하여 양자 힐베르트 공간을 매개변수화하며, 이와 동시에 conformal field theory와 TQFT와 연결한다.

ABSTRACT

These notes of a course given at IRMA in April 2009 cover some aspects of the representation theory of fundamental groups of manifolds of dimension at most 3 in compact Lie groups, mainly $\\su$. We give detailed examples, develop the techniques of twisted cohomology and gauge theory. We review Chern-Simons theory and describe an integrable system for the representation space of a surface. Finally, we explain some basic ideas on geometric quantization. We apply them to the case of representation spaces by computing Bohr-Sommerfeld orbits with metaplectic correction.

연구 동기 및 목표

• 비틀린 코homology와 게이지 이론을 사용하여 표면과 3차원 다양체의 SU(2) 표현 공간에 대한 기하적 프레임워크를 개발한다.
• Chern-Simons 이론을 통해 표면 위의 평탄한 SU(2) 접속의 모듈리 공간의 심플렉틱 구조를 기술한다.
• 라그랑주 피브레이션과 메타플레크틱 보정을 사용하여 모듈리 공간의 기하적 양자화를 구축한다.
• 모듈리 공간 내의 보른-좀머펠트 궤도를 식별하고, 클렙슈-고르단 조건을 통해 양자 불변량과 연결한다.
• 기하적 양자화를 conformal blocks와 링크 다항식과 연결함으로써 TQFT의 기초를 마련한다.

제안 방법

• 표면의 기본군의 표현 공간의 접선 공간을 고찰하기 위해, 고유 표현에 대한 계수를 갖는 코homology를 사용하여 비틀린 코homology를 적용한다.
• Chern-Simons 기능의 임계점으로서 주어진 SU(2)-주다발 위의 평탄한 접속을 게이지 이론을 통해 해석한다.
• Chern-Simons 기능과 그 호로니 성질을 사용하여 모듈리 공간 위에 전미선다발을 구성한다.
• 표면의 팬츠 분해와 관련된 추적 함수를 통해 모듈리 공간 위에 라그랑주 피브레이션을 정의한다.
• 보른-좀머펠트 잎과 반형식 다발을 식별함으로써 메타플레크틱 보정을 통한 기하적 양자화를 구현한다.
• 프레임 다발 내 경로의 호로니를 계산하여 메타플레크틱 구조를 결정하고, 양자화된 상태를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 위의 평탄한 SU(2) 접속의 모듈리 공간은 비틀린 코homology와 게이지 이론적 방법을 통해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 표면의 표현 공간의 심플렉틱 구조는 무엇이며, 이는 어떻게 Chern-Simons 이론으로부터 유도되는가?
• RQ3 기하적 양자화와 메타플레크틱 보정 하에서, 모듈리 공간 내 어떤 라그랑주 부분다양체가 보른-좀머펠트 궤도에 해당하는가?
• RQ4 양자 클렙슈-고르단 조건은 표면의 위상수학적 및 기하학적 자료로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ5 모듈리 공간의 기하적 양자화는 Verlinde 공식과 BKS 쌍대성에 의해 TQFT와 conformal field theory와 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 생성수 g ≥ 2인 표면 위의 평탄한 SU(2) 접속의 모듈리 공간은 팬츠 분해와 관련된 추적 함수를 통해 라그랑주 피브레이션을 갖는다.
• 모듈리 공간 내 보른-좀머펠트 궤도는 (σiπ/K)i∈I 형태의 튜플로 매개변수화되며, 여기서 σi ∈ [1, K−1]이며, 다음의 양자 클렙슈-고르단 조건을 만족한다: σi ≤ σj + σk, σi + σj + σk가 홀수이며, σi + σj + σk ≤ 2K.
• 모듈리 공간의 기하적 양자화는 유한차원 힐베르트 공간을 유도하며, 그 차원은 Verlinde 공식과 일치하여 conformal field theory와의 일관성을 확인한다.
• 메타플레크틱 보정은 정확한 양자화된 상태 식별에 필수적이며, 호로니 계산은 GL(C1) 내 경로가 비자명함을 보여주어 메탈라인 구조의 비자명성을 확인한다.
• Chern-Simons 기능을 통해 전미선다발을 구성함으로써, Reidemeister 토르션과 평탄한 기하학과 관련된 자연스러운 접속이 제공된다.
• 다른 팬츠 분해로부터 유도된 양자화 간의 BKS 쌍대성은 유니터리 동형사상이 될 것으로 예상되며, 이는 기하적 양자화의 배경에 일관된 TQFT의 구조가 존재함을 시사한다.