[논문 리뷰] Geometry of symmetric group-based models

Dimitra Kosta, Kaie Kubjas|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 25.

14-3-3 protein interactions참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 기반 계통수학 모델에 대한 대수기하학 프레임워크를 개발하며, 수치 대수기하학을 활용해 최대우도추정(MLE)과 임bedding 문제를 분석한다. CFN 모델이 삼지기 나무에서 적용될 경우, 매개변수의 발산으로 인해 MLE가 존재하지 않을 수 있음을 입증하며, 이는 오직 대수기하 방법을 통해 밝혀진 결과이다.

ABSTRACT

Phylogenetic models have polynomial parametrization maps. For symmetric group-based models, Matsen studied the polynomial inequalities that characterize the joint probabilities in the image of these parametrizations. We employ this description for maximum likelihood estimation via numerical algebraic geometry. In particular, we explore an example where the maximum likelihood estimate does not exist, which would be difficult to discover without using algebraic methods. We also study the embedding problem for symmetric group-based models, i.e. we identify which mutation matrices are matrix exponentials of rate matrices that are invariant under a group action.

연구 동기 및 목표

• 대칭군 기반 모델에서 잎의 동시확률의 준선형집합을 다항부등식을 사용해 특성화한다.
• 수치 대수기하학을 활용해 계통수학 모델에서 최대우도추정(MLE)의 존재성과 계산 가능성을 조사한다.
• 군에 대한 불변성 조건을 만족하는 속도행렬의 지수함수로 표현 가능한 변이행렬을 식별하여 임베딩 문제를 해결한다.
• 특히 비유계 매개변수 공간에서 MLE가 존재하지 않을 경우를 탐지하기 위한 계산 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• Matsen의 푸리에 좌표 기술을 활용해 대칭군 기반 모델에서 생물학적으로 의미 있는 잎 확률 영역을 정의하는 다항부등식을 유도한다.
• 엄격한 부등식을 완화하여 경계 성분을 포함하고, PHCpack 및 HCPack 등의 수치 대수기하 도구를 사용해 우도 함수의 모든 복소수 임계점을 계산한다.
• 동차연속법을 활용한 알고리즘 1을 적용하여 44개의 경계 성분에 걸쳐 총 167개의 임계점을 계산하였으며, 이는 자리지 클로처 및 낮은 차원의 스트라타를 포함한다.
• 로그우도 값 평가와 더불어 이완된 및 더 엄격한 부등식 제약 조건(경로 기반 의존성에서 유도된 것 포함)을 확인하여 MLE를 식별한다.
• 속도행렬과 그 지수함수를 통한 매개변수화를 사용해 임계점이 모델의 이미지에 속하는지 확인하며, 특히 매개변수가 무한대로 갈 때의 경우를 분석한다.
• G-임베딩 가능한 변이행렬을 대칭적이며 군에 대해 불변이고, 군에 대해 불변한 속도행렬의 지수함수로 표현 가능한 것으로 특성화하며, CFN 및 Kimura 3P 모델의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭군 기반 모델에서 최대우도추정(MLE)이 존재하지 않는 조건은 무엇이며, 이를 어떻게 대수적으로 탐지할 수 있는가?
• RQ2 푸리에 좌표와 다항부등식을 사용해 동시잎확률의 준선형기하적 기술을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 대칭군 기반 모델에서 우도 함수의 임계점의 구조는 무엇이며, 이는 모델의 경계 성분과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 대칭적이며 군에 대해 불변인 어떤 변이행렬이 군에 대해 불변한 속도행렬의 지수함수로 표현될 수 있으며, 이를 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• CFN 모델이 삼지기 나무 $K_{1,3}$에 적용될 경우, 데이터 벡터 $(100,11,85,55,56,7,75,8)$ 에 대해 MLE가 존재하지 않으며, 이는 한 매개변수가 무한대로 갈 때 전역 최대값이 도달하기 때문이다.
• 우도 함수는 44개의 아이디얼에 걸쳐 총 167개의 복소수 임계점을 가지며, 이 중 실수는 97개, 양수 해는 49개이다. 그러나 $q_{ijk} = 0$ 인 경우 모든 요구 조건을 만족하는 해는 존재하지 않는다.
• 상위 두 우도 값은 $-0.0729$로, 이는 두 개의 대칭 해에서 도달되었지만, 일부 $q_{ijk} = 0$ 인 경우 경로 기반 부등식 $q_{000}q_{101} - q_{100}q_{001} \neq 0$ 를 위반하여 모델의 이미지에 속하지 않음을 시사한다.
• 일곱 번째 임계점은 로그우도 $-0.0737$ 을 가지며, 이는 한 간선의 시간이 무한대로 갈 때의 매개변수화($\tilde{\theta}^{(e_2)} = (-\tilde{\theta}^{(e_2)}, \tilde{\theta}^{(e_2)}) \to (-\infty, \tilde{\theta}^{(e_2)})$)에 해당하여 MLE의 존재하지 않음을 확인한다.
• CFN 모델의 자리지 클로처의 차수는 92이며, Hosten 등이 계산한 ML 차수와 일치하여 대수기하 프레임워크의 타당성을 검증한다.
• 표준 수치 최적화 방법은 MLE의 존재하지 않음을 간과할 수 있음을 밝혀내었으며, 이는 비유계 계통수학 모델에서 엄밀한 분석을 위해 대수기하 방법의 필요성을 강조한다.