[논문 리뷰] Geometry of the moduli space of Higgs bundles

Tamás Hausel|ArXiv.org|2001. 07. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 게이지 이론, 심플렉틱 기하학, 등변위(topological) 위상수학을 사용하여 리만 곡면 위의 히그(bundle)의 모듈리 공간의 기하학과 코homology를 조사한다. 심플렉틱 컷과 켈러 몫을 통해 모듈리 공간의 컴팩티피케이션을 구축하고, 무한 수준의 컴팩티피케이션의 유리수 코homology가 게이지 군의 분류 공간의 코homology와 동형임을 증명하여, 컴팩티피케이션된 모듈리 공간과 게이지 군의 분류 공간 사이의 호모토피 동치를 지지한다.

ABSTRACT

This thesis contains work which appeared in several papers. Additionally to the results in the papers it contains a detailed introduction and some further proofs and remarks. The dissertation gives a description of the topology and symplectic and algebraic geometry of Hitchin's hyperkaehler moduli space M of rank 2 Higgs bundles with fixed determinant of odd degree over a fixed Riemann surface. After the long introduction it describes a compactification of M in great detail, using symplectic cutting (math.AG/9804083). Examining the downward Morse flow of a natural circle action on M it shows the vanishing of intersection numbers (math.AG/9805071). Examining the upward Morse flow it explains a set of generators of the cohomology ring and a conjectured explicit description of the cohomology ring (which was proven in math.AG/0003094). Then finally it introduces the resolution tower for M, and shows that its direct limit is homotopically equivalent with the classifying space of the gauge group. In turn it yields another proof of the generation theorem (as in math.AG/0003093) and also yields a purely algebraic geometric proof of the Mumford conjecture about the cohomology ring of the moduli space of rank 2 stable bundles on curves. It finishes by proving homotopy stabilizations in the resolution tower analogously to the Atiyah-Jones conjecture.

연구 동기 및 목표

• 콤���트 리만 곡면 위의 히그(bundle) 모듈리 공간의 전반적 기하학과 위상수학을 이해하기 위해.
• 심플렉틱 기하학과 대수기하학 기법을 사용하여 모듈리 공간의 자연스러운 컴팩티피케이션을 구축하기 위해.
• 컴팩티피케이션된 모듈리 공간의 유리수 코homology 링을 계산하고, 이와 게이지 군의 분류 공간의 코homology 사이의 관계를 규명하기 위해.
• 무한 수준의 컴팩티피케이션과 게이지 군의 분류 공간 사이의 호모토피 동치를 확립하기 위해.

제안 방법

• 모듈리 공간 위의 ${\mathbb{C}}^{*}$-작용을 이용해 순간 지도(moment map)를 통해 분할을 정의하고 심플렉틱 컷 기법을 적용한다.
• 등변위 코homology와 가상의 디라크(bundle)를 사용하여 코homology 링 내의 관계를 계산한다.
• 널리프 콘(의)의 여집합을 ${\mathbb{C}}^{*}$-작용으로 나누어 컴팩티피케이션 $\overline{\mathcal{M}}$을 구성한다.
• 최고 수준의 켈러 몫 $Z$를 사용하여 컴팩티피케이션된 공간의 코homology를 분석한다.
• 히그 $k$-_bundle의 해소 타워 $\widetilde{\mathcal{M}}_k$를 정의하고 직접 극한을 취하여 $\widetilde{\mathcal{M}}_\infty$를 정의한다.
• 토션 문제를 피하기 위해 호모토피 몫을 사용하고, $\widetilde{Z}_\infty^\prime$, $\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$, 및 $({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$ 사이의 호모토피 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히그(bundle) 모듈리 공간의 코homology 링의 구조는 무엇이며, 이를 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 히그(bundle) 모듈리 공간은 기하학적으로 의미 있는 방식으로 어떻게 컴팩티피케이션할 수 있는가?
• RQ3 컴팩티피케이션된 모듈리 공간의 코homology와 게이지 군의 분류 공간의 코homology 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 히그(bundle) 모듈리 공간의 무한 수준 컴팩티피케이션은 게이지 군의 분류 공간과 호모토피 동치인가?

주요 결과

• 최고 수준의 켈러 몫 $Z$의 유리수 코homology는 모듈리 공간의 컴act하게 지정된 등변위 코homology의 이미지를 제거한 일반 등변위 코homology의 몫과 동형이다.
• $Z$의 코homology 링은 $c_1(L_Z)$의 배수이거나, 모듈리 공간의 등변위 코homology 내의 관계에 해당하는 관계를 만족한다.
• $\widetilde{Z}_\infty$의 유리수 코homology는 유니버설 클래스와 $c_1(L_{\widetilde{Z}_\infty})$에 의해 생성되는 자유 순서화된 교환 대수이므로, $H^*(B\mathcal{G})$와 동형임을 의미한다.
• $\widetilde{Z}_\infty$의 파오카르에 다항식은 이러한 생성자들에 의한 자유 순서화된 교환 대수의 것과 일치하여, 코homology 링의 자유성(freeness)을 확인한다.
• $\widetilde{Z}_\infty^\prime$와 $\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$의 호모토피 유형은 $({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$인 $U(1)$에 의한 호모토피 몫과 동치이다.
• 논문은 호모토피 동치 $\overline{\mathcal{M}}_\infty \sim \widetilde{Z}_\infty \sim B\mathcal{G}$를 추측하고, 이에 대한 증거나 증거를 제시하여 컴팩티피케이션된 모듈리 공간과 게이지 군의 분류 공간을 연결한다.