[논문 리뷰] Geometry of warped product and CR-warped product submanifolds in Kaehler manifolds: modified version

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 케일러 다양체 내에서의 워프드 프로덕트 및 CR-워프드 프로덕트 부분다양체의 기하학적 최근 발전을 조사하며, 내재 곡률, 제2 기본형식의 경계, 비존재 정리에 중점을 둔다. 주요 기여는 제2 기본형식의 제곱 노름에 대한 날카로운 부등식과 워프드 프로덕트 점별 준슬랜트 및 双슬랜트 부분다양체의 분류 결과로, 비자명한 예들이 워프 함수와 준슬랜트 각도에 대한 기하학적 및 해석적 조건에 의해 제약받음을 규명한다.

ABSTRACT

The warped product $N_1 imes_f N_2$ of two Riemannian manifolds $(N_1,g_1)$ and $(N_2,g_2)$ is the product manifold $N_1 imes N_2$ equipped with the warped product metric $g=g_1+f^2 g_2$, where $f$ is a positive function on $N_1$. Warped products play very important roles in differential geometry as well as in physics. A submanifold $M$ of a Kaehler manifold $ ilde M$ is called a $CR$-warped product if it is a warped product $M_T imes_f N_\perp$ of a complex submanifold $M_T$ and a totally real submanifold $M_\perp$ of $ ilde M$. In this article we survey recent results on warped product and $CR$-warped product submanifolds in Kaehler manifolds. Several closely related results will also be presented.

연구 동기 및 목표

• 케일러 다양체 내에서의 워프드 프로덕트 및 CR-워프드 프로덕트 부분다양체에 대한 최근 결과를 조사하는 것.
• 등각 임베딩에 관한 기본 질문 A 및 B를 다루며, 워프드 프로덕트 다양체가 리만 및 케일러 다양체로의 임베딩에 대해 고려하는 것.
• 다양한 워프드 프로덕트 부분다양체 유형에서 제2 기본형식의 제곱 노름에 대한 날카로운 기하학적 부등식을 제시하는 것.
• 곡률과 워프 조건 하에서 비자명한 워프드 프로덕트 부분다양체, 특히 점별 준슬랜트, 이슬랜트, 페어드-슬랜트 유형을 분류하는 것.

제안 방법

• 환경 케일러 다양체와 부분다양체의 리베비치비타 접속 간의 관계를 규명하기 위해 가우스 및 베인가르텐 공식을 활용.
• 가우스의 방정식을 적용하여 제2 기본형식과 환경 곡률을 포함하는 곡률 관계를 유도.
• 정규직교 기저장을 사용하고 워프 함수의 라플라스 연산자를 계산하여 기하적 제약 조건을 분석.
• 워프 함수의 기울기와 준슬랜트 각도를 활용하여 제2 기본형식의 제곱 노름에 대한 부등식을 유도.
• 분포의 구조(복소, 완전 실수, 준슬랜트)를 분석하여 워프드 프로덕트 부분다양체를 분류.
• 평균 곡률 벡터와 최소성 조건을 사용하여 유도된 부등식에서 등호가 성립하는 경우를 특성화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 부분다양체 $ M_T $와 완전 실수 부분다양체 $ N_\perp $를 갖는 워프드 프로덕트 부분다양체 $ M_T \times_f N_\perp $가 케일러 다양체 내에 존재할 수 있는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 비자명한 CR-워프드 프로덕트 또는 점별 준슬랜트 워프드 프로덕트의 경우 워프 함수 $ f $ 에 대해 발생하는 기하적 제약 조건은 무엇인가요?
• RQ3 복소 부분다양체와 적절한 준슬랜트 부분다양체의 워프드 프로덕트가 케일러 다양체 내에 존재할 수 있는가? 존재하지 않는다면 그 이유는 무엇인가요?
• RQ4 워프드 프로덕트 점별 준슬랜트 부분다양체에서 제2 기본형식의 제곱 노름에 대한 날카로운 하한은 무엇인가요?
• RQ5 준슬랜트 각도와 워프 함수는 워프드 프로덕트 부분다양체의 최소성과 일치성에 어떻게 영향을 미치나요?

주요 결과

• 복소 부분다양체 $ N^T $와 적절한 준슬랜트 부분다양체 $ N^\theta $를 갖는 비자명한 워프드 프로덕트 부분다양체 $ N^T \times_f N^\theta $는 케일러 다양체 내에 존재하지 않는다.
• 점별 준슬랜트 워프드 프로덕트 부분다양체 $ N^T \times_f N^\theta $에 대해 제2 기본형식의 제곱 노름은 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla^T(\ln f)\|^2 $ 를 만족하며, 등호가 성립할 경우 최소성과 특정 기하학적 성질이 발생한다.
• 워프드 프로덕트 점별 이슬랜트 부분다양체에서는 워프 함수가 상수이거나(리만 프로덕트를 유도함), 또는 두 번째 요소가 완전 실수(즉, $ \theta_2 = \pi/2 $)여야 한다.
• 혼합 지선형 워프드 프로덕트 페어드-슬랜트 부분다양체의 경우, 완전 실수 요소가 기저일 때 제2 기본형식의 제곱 노름은 $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cos^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $ 를 만족한다.
• 점별 준슬랜트 요소가 기저일 경우, 경계는 $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cot^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $ 로 주어지며, 이는 준슬랜트 각도에 더 강한 의존성을 보인다.
• 점별 준슬랜트 부분다양체에 대한 부등식에서 등호가 성립하는 것은 복소 요소가 완전 지선형이고 준슬랜트 요소가 완전 일치성임과 동시에 전체 부분다양체가 최소임과 정확히 동치이다.