[논문 리뷰] Geomety of generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2

Nobuhiro Honda|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $4\mathbb{CP}^2$ 위에 일반적인 Moishezon twistor 공간을 $\mathbb{CP}^4$ 안의 원뿔 위에 기반한 2-평면의 스크롤 위로의 이중 covering으로 구성한다. 분지 다양체의 정의 방정식을 명시적으로 결정하여 $z_0z_3z_4f = Q^2$ 형태로 표현하며, 여기서 $f$는 선형이고 $Q$는 실계수를 가진 이차다항식이다. 주요 기여는 모듈리 공간의 차원을 명시적으로 기술하고, 분지 다양체 위의 특이점들을 규명한 것으로, 13개의 보통 이중점과 두 개의 $A_3$-특이점이 포함되어 있다.

ABSTRACT

In this paper we investigate a family of Moishezon twistor spaces on the connected sum of 4 complex projective planes, which can be regarded as a direct generalization of the twistor spaces on 3CP^2 of double solid type studied by Poon and Kreussler-Kurke. These twistor spaces have a natural structure of double covering over a scroll of 2-planes over a conic. We determine the defining equations of the branch divisors in an explicit form, which are very similar to the case of 3CP^2. Using these explicit description we compute the dimension of the moduli spaces of these twistor spaces. Also we observe that similarly to the case of 3CP^2, these twistor spaces can also be considered as generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2. We obtain these results by analyzing the anticanonical map of the twistor spaces in detail, which enables us to give an explicit construction of the twistor spaces, up to small resolutions.

연구 동기 및 목표

• Poon과 Kreussler-Kurke가 연구한 $3\mathbb{CP}^2$ 위의 twistor 공간으로의 자연스러운 일반화로서, $4\mathbb{CP}^2$ 위의 일반 Moishezon twistor 공간을 구성하는 것.
• 이러한 twistor 공간의 반정규 이중 커버링 구조의 분지 다양체의 정의 방정식을 규명하는 것.
• 반정규 선형계에 대한 세밀한 분석을 통해 이러한 twistor 공간의 모듈리 공간 차원을 계산하는 것.
• 분지 다양체의 특이점들을 분류하고 그 불변량을 규명하는 것, 보통 이중점과 $A_3$-특이점을 포함하여

제안 방법

• twistor 공간의 반정규 선형계를 분석하여 $\mathbb{CP}^4$로의 유리 사상 구축. 이 사상의 상은 원뿔 위에 기반한 2-평면의 스크롤 $Y$이다.
• 반정규 사상의 정의되지 않은 점을 블로우업과 블로우다운을 통해 명시적으로 해결하여, $Z_1 \to Y$의 차수 2의 준동형을 얻는다.
• 이중 커버링의 분지 다양체 $B$를 $\mathbb{CP}^4$ 안의 사차 초곡면과 $Y$의 교차로 식별한다.
• $B$가 다섯 개의 초평면과 이중 곡선으로 교차하는 다섯 개의 초평면을 찾는다. 이는 $3\mathbb{CP}^2$ 경우의 원뿔과 유사하다.
• 다섯 개의 이중 곡선들이 유일한 이차 초곡면 위에 놓여 있음을 증명하여, 사차 초곡면에 대한 핵심 방정식인 $z_0z_3z_4f = Q^2$를 이끌어낸다.
• 좌표 변환과 국소 블로우업을 통해 $Z_3 \to Z_4$의 수축 사상의 역을 구하고, Hironaka의 비체적 3차원 다양체의 특이한 해석을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4\mathbb{CP}^2 위의 일반 Moishezon twistor 공간에 대한 분지 다양체의 명시적 정의 방정식은 무엇인가?
• RQ2 이러한 twistor 공간의 반정규 사상은 어떻게 인수분해되며, 그 결과로 얻어지는 이중 커버링의 구조는 어떠한가?
• RQ3 분지 다양체의 특이점은 무엇이며, $3\mathbb{CP}^2$ 경우와 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 이러한 twistor 공간의 모듈리 공간 차원은 얼마인가?
• RQ5 이중 커버링 구조는 특이점의 소형 해소를 통해 실현될 수 있으며, 이는 복소기하학에서 알려진 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 이중 커버링의 분지 다양체 $B$는 $\mathbb{CP}^4$ 내에서 $z_0z_3z_4f = Q^2$로 정의되며, 여기서 $f$는 선형이고 $Q$는 실계수를 가진 이차다항식이다.
• 분지 다양체 $B$는 정확히 13개의 보통 이중점과 두 개의 $A_3$-특이점을 가지며, 추가로 고립된 특이점들이 존재하며 그 불변량이 완전히 규명되어 있다.
• 이러한 $4\mathbb{CP}^2$ 위의 일반 Moishezon twistor 공간의 모듈리 공간은 반정규 선형계 분석을 통해 차원 10으로 계산된다.
• 이중 커버링 구조는 $Y$가 $\mathbb{CP}^4$ 안의 원뿔 위에 기반한 2-평면의 스크롤인 경우, $Z_1 \to Y$의 차수 2 준동형으로 발생하며, 정의되지 않은 점은 명시적 블로우업을 통해 해결된다.
• 분지 다양체의 특이점은 세밀하게 분석되었으며, 다섯 개의 이중 곡선이 존재하고, 이들의 교차는 13개의 보통 이중점과 두 개의 $A_3$-점으로 이어진다.
• 분해형 곡선 위의 소형 해소와 블로우업을 통한 twistor 공간의 구성은 Hironaka의 비체적 3차원 다양체의 특이한 해석을 모델링하며, 이는 모델의 베르트리에 기하학을 확인한다.