[논문 리뷰] Gerbal Representations of Double Loop Groups

Edward Frenkel, Xinwen Zhu|ArXiv.org|2008. 10. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 이중 루프 군과 그 리 대수의 비자명한 세 번째 코homology 계열을 실현하기 위해 'gerbal 표현'—프로젝티브 표현의 분류화된 유사체—를 도입한다. 완비 클리포드 대수 위의 모듈러 범주 위에서 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$의 gerbal 표현을 구성함으로써, 페르미온의 폭스 표현의 두 차원 유사체를 제공하고, 카테고리적 작용을 통해 $H^3$에 이르는 이상성 클래스를 실현함으로써 고차원에서의 정상 순서화의 부적합성을 해결한다.

ABSTRACT

A crucial role in representation theory of loop groups of reductive Lie groups and their Lie algebras is played by their non-trivial second cohomology classes which give rise to their central extensions (the affine Kac-Moody groups and Lie algebras). Loop groups embed into the group GL_\infty of continuous automorphisms of C((t)), and these classes come from a second cohomology class of GL_\infty. In a similar way, double loop groups embed into a group of automorphisms of C((t))((s)), denoted by GL_{\infty,\infty}, which has a non-trivial third cohomology. In this paper we explain how to realize a third cohomology class in representation theory of a group: it naturally arises when we consider representations on categories rather than vector spaces. We call them "gerbal representations." We then construct a gerbal representation of GL_{\infty,\infty} (and hence of double loop groups), realizing its non-trivial third cohomology class, on a category of modules over an infinite-dimensional Clifford algebra. This is a two-dimensional analogue of the fermionic Fock representations of the ordinary loop groups.

연구 동기 및 목표

• 이중 루프 군과 그 리 대수의 비자명한 세 번째 코homology 계열을 표현 이론적으로 해석하기 위해.
• 군 작용이 벡터 공간이 아닌 카테고리 위에서 일어나는, 카테고리적 프레임워크—gerbal 표현—을 개발하기 위해.
• 무한차원 완비 클리포드 대수 위의 모듈러 범주를 통해 이 코homology 계열의 구체적 실현을 구성하기 위해.
• 이중 루프 군에 대해 페르미온 폭스 표현의 2차원 유사체를 수립하기 위해.
• 표현의 범주와 완비 클리포드 모듈러 범주 사이의 동치 관계를 보존하는 gerbal 구조를 유지하는, $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$--equivariant 동치를 추측하기 위해.

제안 방법

• 완비 클리포드 대수 위의 모듈러 범주 위에서 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$의 세 번째 코homology 계열을 gerbal 표현을 통해 실현한다.
• 분할 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$과 $s^n\mathcal{O}_K \cap L'_0$으로 정의된 위상 구조를 사용하여 완비 클리포드 대수 $\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}$를 구성한다.
• 진공 모듈러 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$를 위상적 부분대수 $\widehat{V}(L_0 \oplus L_0^\perp)$에서 유도된 표현으로 정의한다.
• 등식 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$를 사용하여 카테고리적 작용을 정의한다.
• 표현의 범주 $\mathrm{Rep}$를 $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-이동에 의한 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$의 생성으로서의 반복 생성으로서 정의하고, gerbal 표현을 실현한다.
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-equivariant 동치를 $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$와 $\mathrm{Rep}$ 사이에 추측하며, $\widehat{\mathrm{ML}}_0$을 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$로 보낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 루프 군의 세 번째 코homology 계열은 표현 이론적으로 어떻게 실현될 수 있는가?
• RQ2 프로젝티브 표현을 일반화하여 고차 코homology 계열을 수용할 수 있는 카테고리적 구조는 무엇인가?
• RQ3 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$에 대해 페르미온 폭스 표현의 2차원 유사체를 구성할 수 있는가?
• RQ4 분할 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$의 선택이 표현 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 표현의 범주와 완비 클리포드 모듈러 범주 사이에 자연스러운 동치가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 완비 클리포드 대수 위의 모듈러 범주 위에서 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$의 gerbal 표현을 구성하여 비자명한 세 번째 코homology 계열을 실현한다.
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-이동에 의한 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$의 생성으로 생성된 $\mathrm{Rep}$ 범주는 gerbal 작용에 대해 불변이며, $[E_3] \in H^3(\mathrm{GL}_{\infty,\infty}, \mathbb{C})$ 계열을 실현한다.
• 임의의 $L_0$에 대해 2차원적으로 가까운 $L_1$에 대해, $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$의 자연스러운 동형사상이 존재하며, 이는 카테고리적 작용의 기초를 이룬다.
• 완비 클리포드 모듈러 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$은 유도된 위상에 대해 연속적인 $\widehat{\mathrm{GL}}_{f,\infty}$ 작용에 대해 불변이다.
• 저자들은 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L''_0$인 임의의 분할에 대해 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$이 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L''_0}$과 자연스럽게 동형임을 추측하며, 이로 인해 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$의 표기법을 허용한다.
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-equivariant 동치가 $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$와 $\mathrm{Rep}$ 사이에 추측되며, $\widehat{\mathrm{ML}}_0$을 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$로 보내므로 gerbal 표현의 준동형사상이 실현된다.