[논문 리뷰] Gerber-Shiu functionals at Parisian ruin for Lévy insurance risk processes

Erik J. Baurdoux, Juan Carlos Pardo외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 25.

Probability and Risk Models참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 구간 파산에 대한 게르버–샤우 함수 분포를 스펙트르ально 음성 레비 보험 리스크 과정과 지연 시간이 지수분포를 따르는 경우에 대해 명시적인 표현을 유도한다. 산출 이론과 척도 함수를 이용하여 랜드리외 등이 이전에 얻은 결과를 유계 및 비유계 변동성 과정으로 일반화하며, 척도 함수를 이용한 간결한 공식을 제공함으로써 기존의 파산 확률 결과를 특수한 경우로 포함시킨다.

ABSTRACT

Inspired by works of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}, we study discounted penalties at ruin for surplus dynamics driven by a spectrally negative Lévy process with Parisian implementation delays. To be specific, we study the so-called Gerber-Shiu functional for a ruin model where at each time the surplus process goes negative, an independent exponential clock with rate $q>0$ is started. If the clock rings before the surplus becomes positive again then the insurance company is ruined. Our methodology uses excursion theory for spectrally negative Lévy processes and relies on the theory of the so-called scale functions. In particular, our results extend recent results of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르ально 음성 레비 리스크 과정에서 지수 분포를 따르는 구현 지연 시간이 있는 경우에 파리시안 파산 모델에 게르버–샤우 함수를 확장하는 것.
• 영역 아래의 산출을 기반으로 한 파리시안 파산의 엄밀한 정의와 지수 시계를 통한 정의.
• 랜드리외 등의 결과를 유계 변동성 과정에서 일반 스펙트르ально 음성 레비 과정으로 확장하는 것.
• 게르버–샤우 분포를 척도 함수의 형태로 표현하여 명시적인 계산이 가능하도록 하는 것.
• 유도된 분포의 특수한 경우로 기존의 알려진 파리시안 파산 확률을 회복하는 것.

제안 방법

• 스펙트르ально 음성 레비 과정의 산출 이론을 사용하여 영역 아래의 산출을 모델링한다.
• 강한 마코프 성질과 산출 간의 독립성을 적용하여 파산 시간 분포를 분해한다.
• 척도 함수 $W^{(q)}$ 와 $W^{(q+ heta)}$ 를 사용하여 파산 시간과 적자 간의 공동 분포를 특성화한다.
• 파리시안 파산 시간을 음의 산출 기간 동안 지수 시계가 울리는 첫 번째 시간으로 정의하기 위해 한계 절차 $\varepsilon \downarrow 0$ 를 도입한다.
• 플럭투에이션 항등식을 활용하여 라플라스 변환과 지배 수렴을 이용해 게르버–샤우 함수를 도출한다.
• 항등식 $\lim_{c\to\infty} \frac{W^{(r)}(c-x)}{W^{(r)}(c)} = e^{-\Phi(r)x}$ 를 사용하여 무한 수명 주기의 극한을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 스펙트르ально 음성 레비 과정에서 지수 지연 시간이 있는 경우에 파리시안 파산에 대한 게르버–샤우 분포는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 파산 메커니즘이 음의 산출 기간 동안 지수 시계를 포함할 경우 게르버–샤우 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 랜드리외 등의 결과가 유계 변동성의 경우에서 유도된 바를 일반적인 비유계 변동성 설정으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 플럭투에이션 이론의 맥락에서 파리시안 파산 분포와 척도 함수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 유도된 게르버–샤우 분포의 특수한 경우로 파리시안 파산 확률을 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 스펙트르ально 음성 레비 과정의 유계 및 비유계 변동성 모두에 대해 적용 가능한 척도 함수의 형태로 파리시안 파산 시 게르버–샤우 분포에 대한 명시적이고 간결한 표현을 유도한다.
• 결과는 랜드리외 등의 결과를 보다 일반적인 레비 과정으로 확장함으로써 이전의 프레임워크를 확장한다.
• 유도된 공식에서 적절한 극한을 취함으로써 파리시안 파산 확률이 특수한 경우로 회복됨을 보였다.
• 척도 함수의 극한 행동을 사용하여 무한 수명 주기의 게르버–샤우 분포를 계산하였으며, $\Phi(\theta)$ 와 $\Phi(\theta+q)$ 를 포함하는 표현을 도출하였다.
• 공식은 척도 함수와 적자에 대한 적분의 조합을 포함하며, 계수는 척도 함수 비율과 지수 요소에 따라 달라진다.
• 유도 과정에서 $\varepsilon \downarrow 0$ 의 극한을 사용하여 파리시안 파산 시간을 음의 산출 기간 동안 지수 시계가 울리는 첫 번째 시간으로 정의하는 것이 엄밀히 정당화되었다.