[논문 리뷰] Gerbes on complex reductive Lie groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|2000. 02. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 복소수 재수성 리 군 $G$ 위에 헬모르픽이고 켤레에 관하여 불변인 게르베를, 쌍 $(g,B)$에 대한 그로텐디크 다양체 위의 게르베에서 기하학적 내림림을 통해 구성한다. 여기서 $g \in B \subset G$이다. 이 구성은 $W$-불변 이차형식 $b$에 의해 매개화되며, 코캐릭터 격자 위에 정의되고 양자화 조건을 만족한다. 이는 기존의 초전도체 게르베를 일반화하며, $K$의 경우, $G$의 컴acts 실수 형태에 대해 자연스러운 게르베를 얻는다.

ABSTRACT

We construct a gerbe over a complex reductive Lie group G attached to an invariant bilinear form on a maximal diagonalizable subalgebra which is Weyl group invariant and satisfies a parity condition. By restriction to a maximal compact subgroup K, one then gets a gerbe over K. For a simply-connected group, the parity condition is the same used by Pressley and Segal; in general, it was introduced by Deligne and the author. The gerbe is defined by geometric methods, using the so-called Grothendieck manifold. It is equivariant under the conjugation action of G; its restriction to a semisimple orbit is not always trivial. The paper starts with a discussion of gerbe data (in the sense of Chatterjee and Hitchin) and of gerbes as geometric objects (sheaves of groupoids); the relation between the two approaches is presented. There is an Appendix on equivariant gerbes, discussed from both points of view.

연구 동기 및 목표

• 콤���한 단순연결 리 군 $K$ 위의 자연스러운 게르베에 대해, 루프 군의 중심 확장에 의존하지 않는 유한 차원 기하학적 구성 방법을 제공한다.
• 기본적으로 단순연결되지 않은 복소수 재수성 군 $G$를 포함한 임의의 복소수 재수성 군에 대해 자연스러운 게르베의 구성 방법을 일반화한다.
• 이차형식 $b$라는 조합론적 자료를 사용하여, 쌍 $(g,B)$의 그로텐디크 다양체 $\tilde{G}$에서의 내림림을 통해 $G$ 위에 헬모르픽이고 $G$-동차인 게르베를 정의한다.
• 게르베가 단순형 궤도에 제한되었을 때 항상 자명하지 않음을 입증하여, 게르베 이론에서의 토르션 현상을 드러낸다.
• 등변 게르베와 그들의 연결을 체계적으로 다룸으로써 게르베 이론적 접근과 군자기의 층 이론적 접근을 통합한다.

제안 방법

• 최대 토러스 $T$ 위의 특성의 당김과 플라그 다양체 $G/B$ 위의 등변 선다발을 사용하여, 그로텐디크 다양체 $\tilde{G} = \{(g,B) \mid g \in G, B \text{ 보렐 부분군}, g \in B\}$ 위에 게르베 $\tilde{\mathcal{C}}$를 구성한다.
• 자연스러운 사영 사상 $\tilde{G} \to G/B$ 및 $\tilde{G} \to T$를 이용하여, $\tilde{G}$ 위의 게르베 자료를 써서 컵乘의 구성 방법을 통해 $\tilde{\mathcal{C}}$를 정의한다.
• 정규 단순형 원소들로 이루어진 열린 밀도 부분집합 $G^{\text{reg}}$로 제한하여, $\tilde{G} \to G^{\text{reg}}$ 가 $W$-군인 갈루아 코팅임을 이용해 $\tilde{\mathcal{C}}$를 $G$로 내림림한다.
• 형식 $b$가 $W$-불변임을 가정하고, 내림림 이론을 사용하여 $G^{\text{reg}}$ 위에 게르베 $\mathcal{C}$를 구성한 후, 코homological 방법과 $SL(2,\mathbb{C})$의 경우로의 환원을 통해 전체 군 $G$로 확장한다.
• 차원 2 이하의 특이점은 층 이론적 확장 기법을 사용하여 다루며, $b(\check{\alpha}, \check{\alpha})$ 가 모든 코근 $\alpha$에 대해 짝수여야 한다는 조건을 만족함으로써, 게르베가 $G$ 전역에서 잘 정의됨을 보장한다.
• 게르베 $\mathcal{C}$ 위에 $0$-연결을 정의하지만, 완전한 $1$-연결(미분기하학적 구조)은 아직 추측이며, 게르베 동치와 자연 변환을 통한 등변 구조에 대해 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 무한 차원 루프 군 구성에 의존하지 않고, 유한 차원 기하학적 자료만을 사용하여 복소수 재수성 리 군 $G$ 위에 자연스러운 헬모르픽 게르베를 구성할 수 있는가?
• RQ2 코캐릭터 격자 위의 이차형식 $b$에 대해, 관련 게르베가 $\tilde{G}$ 에서 잘 정의된 게르베로 내림림되어 $G$ 위에 잘 정의된 게르베가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 게르베가 $G^{\text{reg}}$ 에서 전체 군 $G$로 확장될 수 없는 장애 요소는 무엇이며, 이를 코homological 내림림을 통해 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ4 왜 게르베가 단순형 궤도에 제한되었을 때 항상 자명하지 않은가? 이는 재수성 군 위의 게르베의 토르션 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 등변 게르베의 맥락에서, 군자기의 층 이론적 접근과 게르베 자료 접근은 어떻게 관련되어 있으며, 어떻게 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 코캐릭터 격자 위의 $W$-불변 이차형식 $b$에 의해 매개화되고 양자화 조건을 만족하는, 그로텐디크 다양체 $\tilde{G}$ 위의 게르베에서 내림림을 통해 복소수 재수성 리 군 $G$ 위에 헬모르픽 게르베 $\mathcal{C}$를 구성하였다.
• 이 구성은 $G$ 위에 켤레에 관하여 불변인 게르베를 얻으며, 이는 $G$의 컴팩트 실수 형태 $K \subset G$ 위에 잘 정의되고 불변인 게르베로 제한되며, 기존의 자연스러운 초전도체 게르베를 일반화한다.
• 게르베가 단순형 궤도에 제한되었을 때 항상 자명하지 않음을 입증하여, 게르베의 위상수학적 구조에서 비자명한 토르션 현상이 있음을 시사한다.
• 게르베는 $0$-연결을 갖지만, 완전한 $1$-연결(미분기하학적 구조)는 아직 추측이며 명시적으로 구성되지 않았다.
• 이 방법은 기저 루프 군 $\Omega K$의 중심 확장을 피하는 바, 콤팩트한 단순연결 리 군 $K$ 위의 자연스러운 게르베에 대해 유한 차원 기하학적 실현을 제공하며, 이는 유한 차원 모멘트 맵 이론과 일치한다.
• 이 구성은 군 $H$(중심을 제외하고 $G$와 같다)의 작용에 대해 등변이며, 결과로 얻어진 게르베는 게르베 동치와 자연 변환을 통해 $G$의 작용과 호환되며, 코ycle 조건을 만족한다.