[논문 리뷰] Gerbes, (twisted) K-theory, and the supersymmetric WZW model

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|2002. 06. 17.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 13인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 초대칭 Wess-Zumino-Witten (WZW) 모델에서 초전하의 가족이 비틀린 K-이론 클래스를 정의함으로써, 게르베, 비틀린 K-이론, 그리고 초대칭 WZW 모델 사이의 연결 고리를 확립한다. 레벨 $k+1/2$에서 루프 군의 사영 유니터리 표현을 사용하여, 저자들은 초전하 가족이 $K^1(G, k')$에서 비자명한 원소를 유도함을 보여주며, 여기서 비틀림 $k'$는 관련된 주어진 $PU(H)$-주다발의 Dixmier-Douady 클래스에 비례한다.

ABSTRACT

The aim of this talk is to explain how symmetry breaking in a quantum field theory problem leads to a study of projective bundles, Dixmier-Douady classes, and associated gerbes. A gerbe manifests itself in different equivalent ways. Besides the cohomological description as a DD class, it can be defined in terms of a family of local line bundles or as a prolongation problem for an (infinite-dimensional) principal bundle, with the fiber consisting of (a subgroup of) projective unitaries in a Hilbert space. The prolongation aspect is directly related to the appearance of central extensions of (broken) symmetry groups. We also discuss the construction of twisted K-theory classes by families of supercharges for the supersymmetric Wess-Zumino-Witten model.

연구 동기 및 목표

• 양자장론에서의 대칭 깨짐이 사영 다발을 벡터 다발로 올리는 데 있어 장애물이 되는 바이로, 게르베와 비틀린 K-이론이 어떻게 유도되는지 설명하는 것.
• 페르미온 장 이론에서 발생하는 이상으로부터 유도되는 Dixmier-Douady 클래스가 $H^3(X, \mathbb{Z})$를 통한 게르베의 코homological 기술과 정확히 어떤 관계를 가지는지 밝혀내는 것.
• 루프 군의 가족적 사영 표현을 사용하여 초대칭 WZW 모델에서 명시적인 비틀린 K-이론 클래스를 구성하는 것.
• 결과로 유도된 비틀린 K-이론 클래스가 Verlinde 대수와 애페인 Kac-Moody 대수의 표현 이론과 어떻게 관련되어 있는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• CAR 대수의 표준 양자화를 통해 포크 공간과 무한차원 유니터리 군의 사영 표현을 정의하는 것.
• 사영 다발의 전이 함수로부터 열린 집합 $U_{ij}$ 위의 국소 선다발 $L_{ij}$를 구성하고, 삼중 겹치는 부분에서 코ycle 조건을 통해 게르베를 형성하는 것.
• Cech-de Rham 이중 복합체에서 3형의 곡률의 de Rham 표현을 통해 Dixmier-Douady 클래스를 정의하는 것.
• 주어진 $PU(H)$-다발 $P$에서 프레드홀름 연산자 공간으로의 $G$--equivariant 맵으로서 비틀린 K-이론 클래스를 실현하는 것.
• 게이지 장 $A$에 결합된 초전하 $Q_A$를 연결의 공간 $\mathcal{A}/\Omega G$에 따라 매개변수화된 자기수반 연산자 가족으로 정의하는 것.
• 초전하 가족 $Q_A$가 루프 군 작용에 대해 등변적으로 변형됨을 보여, $K^1(G, k')$에서 비틀린 K-이론 클래스를 정의하는 조건을 만족하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자장론에서 게이지 대칭의 붕괴가 어떻게 게르베와 중심 확장의 출현을 이끌어내는가?
• RQ2 게르베의 Dixmier-Douady 클래스와 de Rham 코homology에서의 곡률 3형 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 초대칭 WZW 모델의 초전하 가족을 어떻게 사용하여 비틀린 K-이론 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ4 레벨 $k+1/2$에서의 루프 군 표현이 $K^1(G, k')$에서 비틀림을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 군 다양체 $G$의 비틀린 K-이론이 레벨 $k$에서의 애페인 리 대수의 Verlinde 대수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 초대칭 WZW 모델에서의 초전하 가족 $Q_A$는 $K^1(G, k')$에서 비자명한 원소를 정의하며, 여기서 $k' = (2k+1)/\theta^2$는 $H^3(G, \mathbb{Z})$의 생성자를 곱한 값이다.
• 레벨 $k+1/2$에서 루프 군의 사영 표현에 관련된 주어진 $PU(H)$-다발의 Dixmier-Douady 클래스는 비틀림 $k'$에 비례한다.
• 짝수 차원의 경우, 초전하 $Q_A$는 츄랄 성분 $Q_A^\pm$으로 분리되며, 각각 인덱스 이론을 통해 $K^0(G, k')$에서 비자명한 원소를 정의한다.
• 모든 $s>0$에 대해 연산자 $\exp(-sQ^2)$는 트레이스 클래스이며, 그 트레이스는 보존 및 페르미온 포크 공간에서 최고 무게 표현의 Kac 특징 공식의 곱으로 주어진다.
• JLO 순환 코hom로는 $Q$와 전류 대수의 원소 $S(f)$로부터 구성할 수 있으며, 열핵의 지수 감쇠와 연산자의 다항식 성장으로 인해 유한한 기여를 한다.
• WZW 모델을 통한 비틀린 K-이론의 기하학적 구성은 Freed, Hopkins, Teleman의 등변 비틀린 K-이론 연구에 따라 Verlinde 대수와 동형이 되어야 할 것으로 예상된다.