[논문 리뷰] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; retracts of cohomology of function fields, motivic dimensions, and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $SH^{S^1}(k)$를 통과하는 코homology 이론에 대해 함자적 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 수립하며, $\mathbb{A}^1$-pro-스펙트럼의 범주에 대해 게르스텐 웨이트 구조를 도입한다. 주요 결과는 약간의 스무스 반국소 스킴과 $\mathbb{A}^1$-점의 코homology가 열린 밀도 있는 부분스킴의 코homology의 리트랙트임을 보이며, 이는 분할 코우신 시퀀스를 이끌고, 블로흐-오구스 스펙트럴 시퀀스를 모티빅 스펙트럼으로 일반화한다.

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ we establish the $SH^{S^1}(k)$-functoriality of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $DM(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain triangulated categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. We study in detail the notions of cohomological dimensions of scheme associated to various categories of motivic pro-spectra; they are defined in terms of the corresponding weight structures and count the number of non-zero Nisnevich cohomology for sheaves in the hearts of orthogonal "homotopy" $t$-structures.

연구 동기 및 목표

• 보에보드스키의 모티브에서 $SH^{S^1}(k)$와 그와 관련된 모티빅 범주로의 함자적 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 일반적인 완전체 위에서 확장하는 것.
• 약간의 스무스 반국소 스킴과 $\mathbb{A}^1$-점의 코homology가 열린 밀도 있는 부분스킴의 코homology의 리트랙트임을 보이며, 이는 분할 코우신 시퀀스를 이끌고.
• 모든 컴acts 오브젝트에 대해 $SH^{S^1}(k)$에 대한 고전적 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 일반화하는 $\mathbb{A}^1$-pro-스펙트럼의 범주에 새로운 게르스텐 웨이트 구조를 도입하는 것.
• $\mathbb{A}^1$-코homological 차원을 정의하고, 기능 필드의 프로-스펙트럼과의 관계를 기능 필드의 모티빅 차원과 연결하는 것.
• 대표 스펙트럼의 $t$-트렁케이션을 사용하여 블로흐-오구스 스펙트럴 시퀀스 계산을 모티빅 스펙트럼으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 모든 $k$-스킴의 $\mathbb{A}^1$-pro-스펙트럼의 범주인 $\mathfrak{D}$를 구성하며, 이는 $SH^{S^1}(k)^c$와 약간의 스무스 $k$-스킴의 프로-스펙트럼을 포함한다.
• 범주 $\mathfrak{D}$에 대해 게르스텐 웨이트 구조 $w$를 정의하며, 이의 하트에는 스무스 다양체의 점들의 타이드 프로-스펙트럼이 포함된다.
• 범주 $\mathfrak{D}$에서의 포스트니코프 타워를 사용하여 스무스 다양체의 $SH^{S^1}(k)$-스펙트럼을 그 점들의 타이드 프로-스펙트럼으로 분해한다.
• $SH^{S^1}(k)^{\mathrm{op}}$-함자적 성질을 갖는 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 $SH^{S^1}(k)$를 통과하는 모든 코homology 이론에 대해 수립한다.
• 기능 필드의 프로-스펙트럼이 임의의 조밀한 프로-오픈 부분스킴의 프로-스펙트럼의 리트랙트임을 증명하며, 이는 코homology에 대해서도 동일하게 성립함을 이끌어낸다.
• $\mathbb{A}^1$-코homological 차원의 개념을 도입하고, 매개변수에 대해 국소화된 약간의 스무스 반국소 스킴의 차원이 $\leq 0$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코homology 이론이 $SH^{S^1}(k)$를 통과할 경우, 모티빅 호모토피 범주의 반대 범주에서 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 함자적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 약간의 스무스 반국소 스킴의 코homology가 임의의 열린 밀도 있는 부분스킴의 코homology의 직접 합성원이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 대표 스펙트럼의 $t$-트렁케이션을 사용하여 고전적 블로흐-오구스 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스를 모티빅 스펙트럼으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{A}^1$-pro-스펙트럼은 어떻게 콘비외즈 필터링을 일반화하는 웨이트 구조를 구성하는 데 기여하는가?
• RQ5 약간의 스무스 스킴의 코homology에 대한 코우신 시퀀스가 언제 분할되며, 이는 코homological 차원에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 모든 약간의 스무스 반국소 스킴 $S/k$에 대해, $H$가 $SH^{S^1}(k)$를 통과할 경우 $H^*(S)$의 코우신 시퀀스는 분할되며, 이는 $H^*(S)$가 임의의 조밀한 프로-오픈 부분스킴 $S'$의 $H^*(S')$의 직접 합성원임을 의미한다.
• 범주 $\mathfrak{D}$에서 기능 필드의 프로-스펙트럼은 모든 기하적 평가에 대해 그 잔여체의 타이드 프로-스펙트럼을 리트랙트로 포함하므로, 기능 필드의 코homology 역시 동일하게 성립한다.
• 약간의 스무스 스킴 $S/k$는 그 프로-스펙트럼이 $S$의 임의의 조밀한 프로-오픈 부분스킴의 프로-스펙트럼의 리트랙트일 때에만 $\mathbb{A}^1$-점이다.
• 매개변수에 대해 국소화된 약간의 스무스 반국소 스킴의 모든 국소화는 $\mathbb{A}^1$-코homological 차원 $\leq 0$이며, 이러한 스킴들은 $\mathbb{A}^1$-점이다.
• 표현 스펙트럼 $Y \in SH^{S^1}(k)$에 의해 나타나는 $H$에 대한 콘비외즈 스펙트럴 시퀀스는 $Y$의 $t$-트렁케이션을 통해 표현될 수 있으며, 이는 블로흐-오구스 계산을 모티빅 스펙트럼으로 일반화한다.
• $k$가 유한한 $2$-adic 코homological 차원을 가질 경우, $S/k$의 ${\mathbb{Z}}[1/2]$-선형 $T$-코homological 차원은 그 ${\mathbb{Z}}[1/2]$-선형 모티빅 차원과 일치한다.