[논문 리뷰] Gerstenhaber algebra and Deligne's conjecture on Tate-Hochschild cohomology

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 24.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비가환 미분 형식을 사용하여 임의의 체 위의 결합 법칙 대수에 대해 테이트-호크실드 코homology를 계산하는 특이 호크실드 코체인 복합체를 구성한다. 이 복합체는 작은 2원판 작용소의 작용을 지닌다는 것을 보여, 델리그의 추측을 증명하며, 코homology에 게르스텐하버 대수 구조를 부여하고, 자기-투사 대수에 대해서는 바탈린-빌코비치 대수 구조를 부여한다.

ABSTRACT

Using non-commutative differential forms, we construct a complex called singular Hochschild cochain complex for any associative algebra over a field. The cohomology of this complex is isomorphic to the Tate-Hochschild cohomology in the sense of Buchweitz. By a natural action of the cellular chain operad of the spineless cacti operad, introduced by R. Kaufmann, on the singular Hochschild cochain complex, we provide a proof of the Deligne's conjecture for this complex. More concretely, the complex is an algebra over the (dg) operad of chains of the little $2$-discs operad. By this action, we also obtain that the singular Hochschild cochain complex has a $B$-infinity algebra structure and its cohomology ring is a Gerstenhaber algebra. Inspired by the original definition of Tate cohomology for finite groups, we define a generalized Tate-Hochschild complex with the Hochschild chains in negative degrees and the Hochschild cochains in non-negative degrees. There is a natural embedding of this complex into the singular Hochschild cochain complex. In the case of a self-injective algebra, this embedding becomes a quasi-isomorphism. In particular, for a symmetric algebra, this allows us to show that the Tate-Hochschild cohomology ring, equipped with the Gerstenhaber algebra structure, is a Batalin-Vilkovisky algebra.

연구 동기 및 목표

• 결합 법칙 대수에 대해 특이 호크실드 코체인 복합체를 사용하여 일반화된 테이트-호크실드 코homology 이론을 정의한다.
• 이 복합체의 코homology에 게르스텐하버 대수 구조를 확립한다.
• 복합체가 미세한 2원판 작용소의 dg 작용소의 대수임을 보여, 델리그의 추측을 증명한다.
• 자기-투사 대수에 대해서는 테이트-호크실드 코homology 링이 바탈린-빌코비치 대수임을 보인다.
• 비가환 기하학에서 호크실드 코homology, 테이트 코homology, 작용소 구조를 연결하는 통합 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 비가환 미분 형식의 계수를 가진 호크실드 코체인 복합체의 열린 극한으로 특이 호크실드 코체인 복합체를 구성한다.
• 증가하는 형식을 가진 코체인 복합체 간의 자연스러운 통합을 사용하여 총 복합체를 정의한다.
• 특이 호크실드 코체인 복합체에 스플라인 없는 캣사이 작용소의 세포 체인 작용소의 자연스러운 작용을 도입한다.
• 복합체가 작은 2원판 작용소의 체인의 dg 작용소의 대수임을 증명함으로써 델리그의 추측을 입증한다.
• 복합체에 $B_{\infty}$-대수 구조를 도입하여, 코homology에 게르스텐하버 대수 구조를 유도한다.
• 음의 차수에 호크실드 체인, 음이 아닌 차수에 코체인을 포함하는 일반화된 테이트-호크실드 복합체를 정의하고, 특이 복합체에 자연스럽게 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 결합 법칙 대수에 대해 테이트-호크실드 코homology를 계산하는 특이 호크실드 코체인 복합체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 특이 호크실드 코체인 복합체는 작은 2원판 작용소의 작용을 갖는가? 이를 통해 델리그의 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 특이 호크실드 코체인 복합체의 코homology는 게르스텐하버 대수인가?
• RQ4 자기-투사 대수에 대해서는 테이트-호크실드 코homology 링이 바탈린-빌코비치 대수인가?
• RQ5 일반화된 테이트-호크실드 복합체의 특이 복합체에 대한 통합이 준위치환인가?

주요 결과

• 특이 호크실드 코체인 복합체는 체 위의 임의의 결합 법칙 대수의 테이트-호크실드 코homology를 계산한다.
• 복합체는 스플라인 없는 캣사이 작용소의 세포 체인 작용소의 자연스러운 작용을 지닌다. 이는 델리그의 추측을 실현한다.
• 복합체의 코homology는 게르스텐하버 대수이며, $B_{\infty}$-대수 구조에서 유도된 쿠퍼 곱과 게르스텐하버 괄호로 구성된다.
• 자기-투사 대수에 대해서는 일반화된 테이트-호크실드 복합체의 특이 복합체에 대한 통합이 준위치환이다.
• 대칭 대수에 대해서는 테이트-호크실드 코homology 링이 바탈린-빌코비치 대수이며, BV 연산자는 특이 복합체에서 유도된다.
• 사상 $\widetilde{\iota}^*$는 특이 복합체의 호크실드 코hom로의 호크실드 코hom과 테이트-호크실드 코hom 사이의 BV 대수의 동형사상이다.