[논문 리뷰] Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski structures on coisotropic intersections

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg|ArXiv.org|2009. 06. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 파아손 다양체 $X$ 내의 공이소트로픽 부분다양체 $Y, Z$ 에 대해, 비가환 $
\mathbb{C}_{\varepsilon}$-변형 $\mathcal{A}$ 의 구조층과 모듈러스에 대한 일阶 변형에 의해 유도되는, $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 에 대한 표준적인 바탈린-빌코비스크리(BC) 대수적 구조를 수립한다. 유도된 제르스텐하버 괄목은 변형 선택에 영향을 받지 않으며, 파아손 기하학과 변형 이론을 통해 공이소트로픽 교차의 표준적인 BC 대수적 구조를 제공한다.

ABSTRACT

Let Y,Z be a pair of smooth coisotropic subvarieties in a smooth algebraic Poisson variety X. We show that any data of first order deformation of the structure sheaf O_X to a sheaf of noncommutative algebras and of the sheaves O_Y and O_Z to sheaves of right and left modules over the deformed algebra, respectively, gives rise to a Batalin-Vilkoviski algebra structure on the Tor-sheaf Tor^{O_X}_*(O_Y, O_Z). The induced Gerstenhaber bracket on the Tor-sheaf turns out to be canonically defined; it is independent of the choices of deformations involved. There are similar results for Ext-sheaves as well. Our construction is motivated by, and is closely related to, a result of Behrend-Fantechi, who considered the case of Lagrangian submanifolds in a symplectic manifold.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 파아손 다양체 $X$ 내의 공이소트로픽 부분다양체 $Y, Z$ 에 대해, $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 에 표준적인 바탈린-빌코비스크리(BC) 대수적 구조를 수립한다.
• 이 토르 층에 유도된 제르스텐하버 괄목이 $\mathcal{O}_Y$ 와 $\mathcal{O}_Z$ 의 일阶 변형 선택에 영향을 받지 않는다는 것을 보여준다.
• 자기교차의 경우에 이론을 확장하여, 확장 층에 대한 구조를 수립하고, BC 미분이 정규군의 파아손 비벡터 작용으로 유도됨을 보여준다.
• 자기교차 설정에서, 정규군의 쌍대정규군의 외적 대수 위에서 BC 미분을 통해 파아손 코homology와 호모로지의 기하적 실현을 제공한다.

제안 방법

• 주어진 파아손 괄목을 $\mathcal{O}_X$ 에서 유도하는, $\mathcal{O}_X$ 의 평탄한 $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-변형 $\mathcal{A}$ 를 사용한다.
• 일阶 변형이 $\mathcal{A}$-모듈러스로 호환되게 하여, $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 에 대한 두 번째 차수 미분연산자 $\delta$ 를 구성한다.
• Lie 괄목 공식 $[x,y] = \delta(xy) - \delta(x)y - (-1)^{\deg x}x\delta(y)$ 를 통해 BC 미분 $\delta$ 를 정의하며, $\delta^2 = 0$ 과 $\delta$ 가 차수 $\leq 2$ 임을 보장한다.
• 변형 선택에 대한 독립성을 보이기 위해, 지역적 변형의 리프트 차이가 코homology 내에서 코바운더리임을 보여, 제르스텐하버 괄목이 선택에 의존하지 않음을 증명한다.
• 자기교차의 경우 $Y = Z$ 에 대해 적용하여, $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 에서의 BC 미분이 파아손 비벡터의 작용으로 주어짐을 보여준다.
• Hochschild 코체인의 Lie 괄목과, $Y$ 에서 0이 되는 벡터장의 부분대수인 $\mathcal{K} \subset \mathsf{\Lambda}^\bullet(T_X)$ 를 사용하여, 전역적으로 미분을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변형 양자화를 통해 파아손 다양체 내 두 공이소트로픽 부분다양체의 토르 층에 표준적인 BC 대수적 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 토르 층에 유도된 제르스텐하버 괄목이, 구조층과 모듈러스의 일阶 변형 선택에 영향을 받는가?
• RQ3 자기교차의 경우, $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y)$ 의 BC 미분은 파아손 비벡터와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 자기교차의 경우, $Y = Z$ 가 공이소트로픽일 때, 쌍대정규군의 외적 대수 위에서 BC 구조를 전역적으로 정의할 수 있는가?
• RQ5 파아손 기하학과 정규군 위에서의 리대수 작용을 고려할 때, BC 미분의 기하학적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 일阶 변형이 두 번째 차수로 연장될 경우, $\mathcal{O}_Y$ 와 $\mathcal{O}_Z$ 가 $\mathcal{A}$-모듈러스로 호환되게 하여, $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 는 표준적인 BC 대수적 구조를 유산한다.
• 토르 층에 유도된 제르스텐하버 괄목은 변형 선택에 영향을 받지 않으며, 이는 공이소트로픽 부분다양체와 파아손 구조의 표준적 불변량이 된다.
• 자기교차의 경우 $Y = Z$ 에서, $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 에서의 BC 미분은 파아손 비벡터의 쌍대정규군에 대한 작용으로 주어진다.
• 확장 층에 대한 BC 미분 $\delta^\prime$ 는 전역적으로 잘 정의되어 있으며, Hochschild 코체인의 Lie 괄목으로부터 유도되며, $\delta^\prime(\gamma_B) = [\alpha_A \oplus \alpha_B, 0 \oplus \gamma_B]$ 로 표현된다.
• 이론은 비스펜드-판테키의 심플렉틱 다양체 내 라그랑주 교차에 대한 결과를 변형 양자화와 파아손 기하학을 사용하여 공이소트로픽 설정으로 일반화한다.
• BC 미분 $\delta$ 의 호모로지는 파아손 호모로지와 대응하며, $\delta^\prime$ 의 코homology 는 파아손 코homology 와 대응하여, 이론이 고전적 불변량과 연결됨을 보여준다.