[논문 리뷰] GESPAR: Efficient Phase Retrieval of Sparse Signals

Yoav Shechtman, Amir Beck외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 06.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

GESPAR는 행렬 릿지 없이도 효율적인 푸리에 크기 측정값에서 희박 신호의 위상 복원을 위한 빠르고 탐욕적인 국소 검색 알고리즘이다. 반복적으로 신호 지지 집합과 위상을 다진 가우스-뉴턴 방법을 사용하여 기존의 Fienup 유형 알고리즘과 SDP 기반 접근법보다 더 높은 정확도와 확장성을 달성하며, 특히 1차원 및 2차원 대규모 문제에서 유리하다.

ABSTRACT

We consider the problem of phase retrieval, namely, recovery of a signal from the magnitude of its Fourier transform, or of any other linear transform. Due to the loss of the Fourier phase information, this problem is ill-posed. Therefore, prior information on the signal is needed in order to enable its recovery. In this work we consider the case in which the signal is known to be sparse, i.e., it consists of a small number of nonzero elements in an appropriate basis. We propose a fast local search method for recovering a sparse signal from measurements of its Fourier transform (or other linear transform) magnitude which we refer to as GESPAR: GrEedy Sparse PhAse Retrieval. Our algorithm does not require matrix lifting, unlike previous approaches, and therefore is potentially suitable for large scale problems such as images. Simulation results indicate that GESPAR is fast and more accurate than existing techniques in a variety of settings.

연구 동기 및 목표

• 신호의 희박성이라는 사전 정보를 활용하여 위상 복원 문제의 불안정성을 완화한다.
• 기존 방법의 한계를 극복한다. 예를 들어 Fienup 유형 알고리즘의 느린 수렴성과 SDP 기반 접근법의 높은 계산 비용 문제를 해결한다.
• 2차원 이미지 복원과 같은 대규모 문제에 적합한 확장성 있고 효율적인 알고리즘 개발을 목표로 한다.
• 노이즈가 섞이거나 측정값이 불완전한 경우에도 높은 성공 확률을 유지하면서 안정적인 복원을 가능하게 한다.
• 대규모 문제에 대해 실현 불가능한 행렬 릿지 기법의 실용적 대안을 제공한다.

제안 방법

• 희박 위상 복원 문제를 희박성 제약 조건이 있는 비볼록 비선형 최적화 문제로 재구성한다.
• 신호 지지 집합을 반복적으로 업데이트하는 탐욕적인 국소 검색 전략을 적용한다.
• 고정된 지지 집합에 대해 데이터 적합성 항목을 최소화하기 위해 감쇠 가우스-뉴턴(DGN) 알고리즘을 사용한다.
• 지지 집합 선택과 DGN 개선을 번갈아가며 정류점에 수렴하도록 한다.
• 신호 벡터 위에서 직접 최적화함으로써 행렬 릿지 없이 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 기울기 및 헤시안 정보를 기반으로 새로운 지지 인덱스를 선택하기 위한 임계값 규칙을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 및 2D 환경에서 빠르고 SDP 기반이 아닌 알고리즘이 희박 위상 복원을 높은 정확도로 달성할 수 있는가?
• RQ2 GESPAR는 Fienup 유형 및 SDP 기반 방법과 비교해 성능 및 확장성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 희박성에 대한 함수로서 신뢰할 수 있는 복원을 위해 필요한 측정값의 수는 얼마인가?
• RQ4 노이즈 및 정확하지 않은 사전 지식에 대해 GESPAR는 얼마나 강인한가?
• RQ5 행렬 릿지 없이도 GESPAR는 대규모 신호(예: 2차원 이미지)를 효과적으로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• GESPAR는 $ s $ 희박성 수준의 신호를 $ N = 2n $ 측정값에서 높은 확률로 복원하며, 필요한 측정값 수는 약 $ s^3 $ 비례로 증가한다.
• 특히 $ n = 512, s = 35 $ 조건에서 GESPAR는 33.5초 내에 $ ITER = 6400 $로 신호를 복원하며, 확장성 면에서 SDP 기반 방법보다 뚜렷이 뛰어나다.
• 2차원 위상 복원에서 GESPAR는 $ n = 6400 $, $ s = 57 $까지 성공적으로 복원할 수 있었고, 동일 조건에서 희박성-Fienup은 $ s = 42 $까지만 복원 가능했다.
• GESPAR의 계산 시간은 지지 집합 교환 수에 대해 약 선형적으로 증가하며, 평균 교환 수는 $ s $ 및 $ n $에 대해 로그적으로 증가한다.
• GESPAR는 노이즈에 강인하며, 자동상관 기반 지지 정보가 없어도 잘 작동한다.
• 1D 및 2D 환경에서 다양한 신호 크기와 희박성 수준에서 GESPAR는 희박성-Fienup보다 더 높은 복원 확률을 달성한다.